MPSI · Séries numériques

Convergence et divergence d'une série

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Définitions et exemples

Question

On sait ce que signifie additionner un nombre fini de termes. Mais peut-on donner un sens à une somme infinie u0+u1+u2+⋯u_0 + u_1 + u_2 + \cdots ? Et si oui, comment définir rigoureusement sa valeur ?

Définition 1

Soit (un)n∈KN(u_n)_n \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}.

  1. On appelle série de terme général unu_n la suite (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : Sn=∑p=0nup.\displaystyle S_n = \sum_{p=0}^{n} u_p. On la note ∑n⩾0un\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} u_n, ou plus simplement ∑un\sum u_n. Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, SnS_n est appelée somme partielle d'ordre nn.

  2. On dit que la série ∑un\sum u_n converge si la suite (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} admet une limite finie dans K\mathbb{K}. Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.

  3. Si la série ∑un\sum u_n converge, la limite de la suite (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} est appelée somme de la série et notée ∑n=0+∞un\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n, et pour tout n≥0n \geq 0 le scalaire Rn=∑p=0+∞up−Sn=∑p=n+1+∞up\displaystyle R_n = \sum_{p=0}^{+\infty} u_p - S_n = \sum_{p=n+1}^{+\infty} u_p est appelé reste d'ordre nn de la série ∑un\sum u_n.

Remarque :

La suite des restes d'une série convergente tend vers 0.

Exercice 1

Étudier la nature des séries suivantes :

  1. ∑n≥11\displaystyle\sum_{n\geq1} 1
  2. ∑n≥1n\displaystyle\sum_{n\geq1} n
  3. ∑n≥11n\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}
  4. ∑n≥11n(n+1)\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}
  5. ∑n≥012n\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{1}{2^n}
  6. ∑n≥1(−1)n−1n\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
Solution :(cliquer pour afficher)

  1. Pour tout n≥1n \geq 1, Sn=∑p=1n1=n→n→+∞+∞S_n = \displaystyle\sum_{p=1}^{n} 1 = n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. La série ∑1\sum 1 diverge.

  2. Pour tout n≥1n \geq 1, Sn=∑p=1np=n(n+1)2→n→+∞+∞S_n = \displaystyle\sum_{p=1}^{n} p = \frac{n(n+1)}{2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. La série ∑n\sum n diverge.

  3. Pour tout n≥1n \geq 1 :

S2n−Sn=∑k=n+12n1k⩾n×12n=12.S_{2n} - S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geqslant n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.

Si la série harmonique convergeait, en notant SS sa somme, on aurait S2n−Sn→S−S=0S_{2n} - S_n \to S - S = 0, ce qui contredit la minoration précédente. La série ∑1n\displaystyle\sum \frac{1}{n} diverge.

  1. Pour tout p≥1p \geq 1, 1p(p+1)=1p−1p+1\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1}, donc par télescopage :
Sn=∑p=1n(1p−1p+1)=1−1n+1→n→+∞1.S_n = \sum_{p=1}^{n} \left(\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.

La série converge et ∑n=1+∞1n(n+1)=1\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1.

  1. Pour tout n≥0n \geq 0, Sn=∑p=0n12p=1−(1/2)n+11−1/2→n→+∞2S_n = \displaystyle\sum_{p=0}^{n} \frac{1}{2^p} = \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2. La série converge et ∑n=0+∞12n=2\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 2.

  2. Notons Sn=∑k=1n(−1)k−1kS_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}. Alors :

    • S2n+2−S2n=12n+1−12n+2>0S_{2n+2} - S_{2n} = \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n+2} > 0 : la suite (S2n)(S_{2n}) est croissante ;
    • S2n+3−S2n+1=−12n+2+12n+3<0S_{2n+3} - S_{2n+1} = -\dfrac{1}{2n+2} + \dfrac{1}{2n+3} < 0 : la suite (S2n+1)(S_{2n+1}) est décroissante ;
    • S2n+1−S2n=12n+1→n→+∞0S_{2n+1} - S_{2n} = \dfrac{1}{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

    Les suites (S2n)(S_{2n}) et (S2n+1)(S_{2n+1}) sont adjacentes, donc convergent vers une même limite SS, et par suite Sn→SS_n \to S : la série converge.

    Calculons sa somme. Pour tout n≥1n \geq 1 :

S2n=∑k=12n1k−2∑j=1n12j=∑k=n+12n1k=1n∑j=1n11+j/n.S_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - 2\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2j} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1 + j/n}.

On reconnaît une somme de Riemann : S2n→n→+∞∫01dt1+t=ln⁡2S_{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{1+t} = \ln 2. Donc ∑n=1+∞(−1)n−1n=ln⁡2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2.

Proposition 1 : Condition nécessaire de convergence

Si la série ∑un\sum u_n converge, alors la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} tend vers 00.

Démonstration :

Notons SS la somme de la série. Pour tout n≥1n \geq 1, on a un=Sn−Sn−1u_n = S_n - S_{n-1}. Or Sn→SS_n \to S et Sn−1→SS_{n-1} \to S, donc un→S−S=0u_n \to S - S = 0.

Test 1

Si (un)(u_n) tend vers 00, alors la série ∑un\sum u_n converge.

Test 2

Si (un)(u_n) ne tend pas vers 00, alors la série ∑un\sum u_n diverge.

Proposition 2 : Série géométrique

Soit z∈Cz \in \mathbb{C}. La série ∑n≥0zn\displaystyle\sum_{n\geq0} z^n, appelée série géométrique de raison zz, converge si et seulement si ∣z∣<1|z| < 1, et l'on a alors

∑n=0+∞zn=11−z.\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}.

Démonstration :

  • Si ∣z∣⩾1|z| \geqslant 1, alors pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, ∣zn∣⩾1|z^n| \geqslant 1, donc le terme général ne tend pas vers 00 et la série diverge grossièrement.

  • Si ∣z∣<1|z| < 1, alors en particulier z≠1z \neq 1, et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, Sn=1−zn+11−z.S_n = \dfrac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.

    Or lim⁡n→+∞zn+1=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} z^{n+1} = 0 puisque ∣z∣<1|z| < 1, donc (Sn)n∈N(S_n)_{n \in \mathbb{N}} est convergente de limite 11−z\dfrac{1}{1-z}.

Définition 2 : Série télescopique

Une série télescopique est une série dont le terme général s'écrit sous la forme un=vn+1−vnu_n = v_{n+1} - v_n, où (vn)∈KN(v_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}.

Proposition 3 : Lien suite-série

Une suite (vn)n∈N∈KN(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} converge si, et seulement si, sa série télescopique associée ∑(vn+1−vn)\sum(v_{n+1} - v_n) est convergente, et l'on a alors :

∑n=0+∞(vn+1−vn)=(lim⁡n→+∞vn)−v0.\sum_{n=0}^{+\infty} (v_{n+1} - v_n) = \Bigl(\lim_{n \to +\infty} v_n\Bigr) - v_0.

Démonstration :

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, par télescopage :

Sn=∑p=0n(vp+1−vp)=vn+1−v0.S_n = \sum_{p=0}^{n} (v_{p+1} - v_p) = v_{n+1} - v_0.

Ainsi (Sn)(S_n) converge si, et seulement si, (vn+1)(v_{n+1}) converge, c'est-à-dire si, et seulement si, (vn)(v_n) converge. Dans ce cas, en passant à la limite :

∑n=0+∞(vn+1−vn)=lim⁡n→+∞vn+1−v0=(lim⁡n→+∞vn)−v0.\sum_{n=0}^{+\infty} (v_{n+1} - v_n) = \lim_{n \to +\infty} v_{n+1} - v_0 = \Bigl(\lim_{n \to +\infty} v_n\Bigr) - v_0.

Exercice 2

Pour chacune des séries suivantes, déterminer sa nature. En cas de convergence, calculer sa somme.

  1. ∑n⩾1(n−n−1)\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \left(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}\right)
  2. ∑n⩾1(1n+1−1n)\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)
  3. ∑n⩾11n(n+1)\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n(n+1)}
  4. ∑n⩾1ln⁡ ⁣(1+1n)\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)
Solution :(cliquer pour afficher)

Toutes ces séries sont télescopiques : on applique le lien suite-série.

  1. On a n−n−1=vn+1−vn\sqrt{n} - \sqrt{n-1} = v_{n+1} - v_n avec vn=n−1v_n = \sqrt{n-1}. Par télescopage, Sn=∑p=1n(p−p−1)=n→n→+∞+∞S_n = \displaystyle\sum_{p=1}^{n}\left(\sqrt{p} - \sqrt{p-1}\right) = \sqrt{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. La série diverge.

  2. Par télescopage, Sn=∑p=1n(1p+1−1p)=1n+1−1→n→+∞−1S_n = \displaystyle\sum_{p=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{p+1}} - \frac{1}{\sqrt{p}}\right) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 1 \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1. La série converge et sa somme vaut −1-1.

  3. Pour tout n≥1n \geq 1, 1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}, donc Sn=1−1n+1→n→+∞1S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1. La série converge et sa somme vaut 11.

  4. Pour tout n≥1n \geq 1, ln⁡ ⁣(1+1n)=ln⁡(n+1)−ln⁡n\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \ln(n+1) - \ln n, donc Sn=ln⁡(n+1)→n→+∞+∞S_n = \ln(n+1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. La série diverge.

Opérations sur les séries convergentes

Proposition 4 : Linéarité des séries convergentes

Soient ∑un\sum u_n et ∑vn\sum v_n des séries convergentes et λ,μ∈K\lambda, \mu \in \mathbb{K}. Alors la série ∑(λun+μvn)\sum (\lambda u_n + \mu v_n) converge et :

∑n=0+∞(λun+μvn)=λ∑n=0+∞un+μ∑n=0+∞vn.\sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=0}^{+\infty} v_n.

Démonstration :

Notons SnS_n et TnT_n les sommes partielles respectives de ∑un\sum u_n et ∑vn\sum v_n. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, par linéarité des sommes finies :

∑p=0n(λup+μvp)=λSn+μTn.\sum_{p=0}^{n} (\lambda u_p + \mu v_p) = \lambda S_n + \mu T_n.

Par opérations sur les limites, cette suite converge vers λ∑n=0+∞un+μ∑n=0+∞vn\lambda \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=0}^{+\infty} v_n, d'où le résultat.

Remarque :

  • L'ensemble des séries convergentes est un sous-espace vectoriel de KN\mathbb{K}^{\mathbb{N}} ;
  • L'application qui, à une série convergente, associe sa somme est une forme linéaire.
  • On ne change pas la nature d'une série en ajoutant à son terme général le terme général d'une série convergente.

Test 3

Si ∑un\sum u_n converge et ∑vn\sum v_n diverge, alors la série ∑(un+vn)\sum (u_n + v_n) diverge.

Test 4

Si ∑un\sum u_n et ∑vn\sum v_n divergent toutes les deux, alors la série ∑(un+vn)\sum (u_n + v_n) diverge.

Proposition 5 : Cas des séries à termes complexes

Soit ∑un\sum u_n une série à termes complexes. La série ∑un\sum u_n converge si, et seulement si, les séries ∑Re(un)\sum \mathrm{Re}(u_n) et ∑Im(un)\sum \mathrm{Im}(u_n) convergent, et l'on a alors :

∑n=0+∞un=∑n=0+∞Re(un)+i∑n=0+∞Im(un).\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{Re}(u_n) + i \sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{Im}(u_n).

Démonstration :

Notons SnS_n la somme partielle d'ordre nn de ∑un\sum u_n. Par linéarité des parties réelle et imaginaire sur les sommes finies :

Re(Sn)=∑p=0nRe(up)etIm(Sn)=∑p=0nIm(up).\mathrm{Re}(S_n) = \sum_{p=0}^{n} \mathrm{Re}(u_p) \qquad \text{et} \qquad \mathrm{Im}(S_n) = \sum_{p=0}^{n} \mathrm{Im}(u_p).

Or une suite complexe converge si, et seulement si, les suites de ses parties réelle et imaginaire convergent, et dans ce cas sa limite est lim⁡Re(Sn)+ilim⁡Im(Sn)\lim \mathrm{Re}(S_n) + i \lim \mathrm{Im}(S_n). Appliqué à (Sn)(S_n), cela donne exactement l'équivalence annoncée et la formule.

Remarque :

Dans le cas où ∑un\sum u_n converge, on a donc :

∑n=0+∞Re(un)=Re ⁣(∑n=0+∞un)et∑n=0+∞Im(un)=Im ⁣(∑n=0+∞un).\sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{Re}(u_n) = \mathrm{Re}\!\left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right) \quad \text{et} \quad \sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{Im}(u_n) = \mathrm{Im}\!\left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right).

Exercice 3

Soit θ∈]0,π[\theta \in \left]0, \pi\right[. Montrer la convergence des séries suivantes et calculer leurs sommes :

∑n≥0cos⁡(nθ)cos⁡n(θ)et∑n≥0sin⁡(nθ)cos⁡n(θ).\sum_{n\geq0}\cos(n\theta)\cos^n(\theta) \qquad \text{et} \qquad \sum_{n\geq0} \sin(n\theta)\cos^n(\theta).
Solution :(cliquer pour afficher)

Posons z=cos⁡(θ) eiθz = \cos(\theta)\, e^{i\theta}. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

zn=cos⁡n(θ) einθ=cos⁡(nθ)cos⁡n(θ)+isin⁡(nθ)cos⁡n(θ).z^n = \cos^n(\theta)\, e^{in\theta} = \cos(n\theta)\cos^n(\theta) + i \sin(n\theta)\cos^n(\theta).

Comme θ∈]0,π[\theta \in \left]0, \pi\right[, on a ∣z∣=∣cos⁡θ∣<1|z| = |\cos\theta| < 1 : la série géométrique ∑zn\sum z^n converge. D'après la proposition sur les séries à termes complexes, les séries ∑Re(zn)=∑cos⁡(nθ)cos⁡n(θ)\sum \mathrm{Re}(z^n) = \sum \cos(n\theta)\cos^n(\theta) et ∑Im(zn)=∑sin⁡(nθ)cos⁡n(θ)\sum \mathrm{Im}(z^n) = \sum \sin(n\theta)\cos^n(\theta) convergent, et leurs sommes sont les parties réelle et imaginaire de ∑n=0+∞zn=11−z\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}.

Calculons cette somme :

1−z=1−cos⁡(θ)eiθ=1−cos⁡2(θ)−icos⁡(θ)sin⁡(θ)=sin⁡(θ)(sin⁡(θ)−icos⁡(θ))=−isin⁡(θ) eiθ,1 - z = 1 - \cos(\theta)e^{i\theta} = 1 - \cos^2(\theta) - i\cos(\theta)\sin(\theta) = \sin(\theta)\bigl(\sin(\theta) - i\cos(\theta)\bigr) = -i\sin(\theta)\, e^{i\theta},

et sin⁡θ≠0\sin\theta \neq 0 car θ∈]0,π[\theta \in \left]0, \pi\right[. Donc :

11−z=i e−iθsin⁡(θ)=sin⁡(θ)+icos⁡(θ)sin⁡(θ)=1+i cos⁡(θ)sin⁡(θ).\frac{1}{1-z} = \frac{i\, e^{-i\theta}}{\sin(\theta)} = \frac{\sin(\theta) + i\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = 1 + i\,\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}.

En identifiant parties réelle et imaginaire :

∑n=0+∞cos⁡(nθ)cos⁡n(θ)=1et∑n=0+∞sin⁡(nθ)cos⁡n(θ)=cos⁡(θ)sin⁡(θ).\sum_{n=0}^{+\infty} \cos(n\theta)\cos^n(\theta) = 1 \qquad \text{et} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(n\theta)\cos^n(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}.