Séries à termes quelconques

Remarquons d'abord que $(u_n)$ est à termes positifs : décroissante et de limite $0$, elle est minorée par sa limite.

Notons $\displaystyle S_n = \sum_{p=0}^{n} (-1)^p u_p$.

• $S_{2n+2} - S_{2n} = -u_{2n+1} + u_{2n+2} \leqslant 0$ : la suite $(S_{2n})$ est décroissante ;
• $S_{2n+3} - S_{2n+1} = u_{2n+2} - u_{2n+3} \geqslant 0$ : la suite $(S_{2n+1})$ est croissante ;
• $S_{2n+1} - S_{2n} = -u_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$. Les suites extraites d'indices pairs et impairs de $(S_n)$ convergeant vers $S$, la suite $(S_n)$ converge vers $S$ : la série converge. De plus, par monotonie :

Signe du reste. $R_n = S - S_n$. Si $n$ est pair, $S \leqslant S_n$ donc $R_n \leqslant 0$, qui est bien le signe de $(-1)^{n+1} = -1$. Si $n$ est impair, $S \geqslant S_n$ donc $R_n \geqslant 0$, qui est bien le signe de $(-1)^{n+1} = +1$.

Majoration du reste. Par changement d'indice :

La suite $(u_{n+1+j})_{j \in \mathbb{N}}$ est décroissante de limite $0$ : d'après la première partie de la preuve appliquée à cette suite, sa somme $T$ vérifie $u_{n+1} - u_{n+2} \leqslant T \leqslant u_{n+1}$, donc $0 \leqslant T \leqslant u_{n+1}$. Ainsi $|R_n| = T \leqslant u_{n+1}$.

Encadrement de la somme. C'est le même encadrement appliqué à la suite $(u_n)$ elle-même : $u_0 - u_1 \leqslant S \leqslant u_0$, d'où $0 \leqslant S \leqslant u_0$.

Cas d'une série à termes réels. Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

On a $0 \leqslant u_n^+ \leqslant |u_n|$ et $0 \leqslant u_n^- \leqslant |u_n|$. Comme $\sum |u_n|$ converge, le théorème de comparaison des séries à termes positifs assure que $\sum u_n^+$ et $\sum u_n^-$ convergent. Par linéarité, $\sum u_n = \sum (u_n^+ - u_n^-)$ converge.

Cas d'une série à termes complexes. Pour tout $n$, $|\mathrm{Re}(u_n)| \leqslant |u_n|$ et $|\mathrm{Im}(u_n)| \leqslant |u_n|$. Par comparaison, les séries réelles $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum \mathrm{Im}(u_n)$ sont absolument convergentes, donc convergentes d'après le cas réel. D'après la proposition sur les séries à termes complexes, $\sum u_n$ converge.

Inégalité triangulaire. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'inégalité triangulaire sur les sommes finies donne :

la dernière majoration venant de la croissance des sommes partielles d'une série à termes positifs. Le module étant continu, un passage à la limite donne le résultat.

Soit $z \in \mathbb{C}$.

Étape 1 : convergence absolue. Soit $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $N \geqslant 2|z|$. Pour tout $n > N$ :

car $\dfrac{|z|}{k} \leqslant \dfrac{|z|}{N} \leqslant \dfrac{1}{2}$ pour $k > N$. Le terme général $\left|\dfrac{z^n}{n!}\right|$ est donc dominé par celui d'une série géométrique convergente : la série $\sum \dfrac{z^n}{n!}$ converge absolument, donc converge. En particulier son terme général tend vers $0$, c'est-à-dire

Étape 2 : valeur de la somme. Considérons la fonction

Elle est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[0,1]$ et $f^{(k)}(t) = z^k e^{tz}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. De plus, pour $t \in [0,1]$,

de sorte qu'en posant $M = e^{|z|}$ — qui ne dépend pas de $n$ —

L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ entre $0$ et $1$ s'écrit

et comme $f(1) = e^z$ et $f^{(k)}(0) = z^k$, elle donne :

D'après l'étape 1, le majorant tend vers $0$ : la suite des sommes partielles converge vers $e^z$, ce qui est l'égalité annoncée.

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. La proposition précédente appliquée à $z = i\theta$ donne

Terme général. Pour $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{(i\theta)^n}{n!} = \dfrac{i^n \theta^n}{n!}$, et :

• si $n = 2p$ est pair, $i^n = (-1)^p$ et $\dfrac{(i\theta)^n}{n!} = \dfrac{(-1)^p \theta^{2p}}{(2p)!}$ est réel ;
• si $n = 2p+1$ est impair, $i^n = (-1)^p\, i$ et $\dfrac{(i\theta)^n}{n!} = i\,\dfrac{(-1)^p \theta^{2p+1}}{(2p+1)!}$ est imaginaire pur.

Posons donc $u_n = \mathrm{Re}\!\left(\dfrac{(i\theta)^n}{n!}\right)$ et $v_n = \mathrm{Im}\!\left(\dfrac{(i\theta)^n}{n!}\right)$ :

Passage aux parties réelle et imaginaire. Une série complexe converge si et seulement si les séries de ses parties réelle et imaginaire convergent, et l'on a alors $\mathrm{Re}\left(\sum w_n\right) = \sum \mathrm{Re}(w_n)$ et $\mathrm{Im}\left(\sum w_n\right) = \sum \mathrm{Im}(w_n)$. Les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent donc, avec

Regroupement. Les termes d'indice impair de $\sum u_n$ étant nuls, on a pour tout $N \in \mathbb{N}$ :

La suite des sommes partielles de $\sum_p (-1)^p \dfrac{\theta^{2p}}{(2p)!}$ est ainsi extraite de celle de $\sum u_n$, qui converge vers $\cos\theta$ : elle converge donc vers la même limite, d'où la première égalité. De même, les termes d'indice pair de $\sum v_n$ étant nuls,

et le même argument d'extraction donne la seconde égalité.

Par définition de la domination, il existe $M \geqslant 0$ et $n_0 \in \mathbb{N}$ tels que $|u_n| \leqslant M v_n$ pour tout $n \geqslant n_0$.

Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum M v_n$ converge par linéarité. Les séries $\sum_{n \geqslant n_0} |u_n|$ et $\sum_{n \geqslant n_0} M v_n$ étant à termes positifs et vérifiant $0 \leqslant |u_n| \leqslant M v_n$, le théorème de comparaison donne la convergence de $\sum_{n \geqslant n_0} |u_n|$. La nature d'une série ne dépendant pas de ses premiers termes, $\sum |u_n|$ converge : la série $\sum u_n$ est absolument convergente, donc convergente.

Si $u_n = o(v_n)$, alors en particulier $u_n = O(v_n)$ : il existe $n_0$ tel que $|u_n| \leqslant v_n$ pour $n \geqslant n_0$. La proposition précédente s'applique.

Écrivons $u_n = v_n(1 + \varepsilon_n)$ avec $\varepsilon_n \to 0$. En passant au module :

donc $|u_n| \sim |v_n|$. Les séries $\sum |u_n|$ et $\sum |v_n|$ sont à termes positifs : par comparaison par équivalent, elles sont de même nature. La convergence de l'une équivaut donc à celle de l'autre, c'est-à-dire que $\sum u_n$ converge absolument si, et seulement si, $\sum v_n$ converge absolument.