Fonctions équivalentes

Les relations $O$ et $o$ situent une fonction par rapport à une autre, mais sans jamais dire qu'elles se ressemblent : $x^2 = O(x)$ ne donne aucune information sur la valeur de $x^2$. Comment exprimer, au contraire, que deux fonctions ont au voisinage de $a$ le même comportement, au point que l'on puisse remplacer l'une par l'autre dans un calcul de limite ?

Si $f \underset{a}{=} O(g)$ et $g \underset{a}{=} O(f)$, alors $f \underset{a}{\sim} g$.

La définition impose d'exhiber la fonction $u$. Existe-t-il un critère plus maniable, et peut-on relier $\sim$ aux relations $o$ et $O$ déjà connues ?

1. La fonction $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ si, et seulement si, $f - g \underset{a}{=} o(g)$.
2. Si $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, dans ce cas $f(a)=0$ aussi, alors $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ si, et seulement si, $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.

Si $f \underset{a}{=} o(g)$, alors $f + g \underset{a}{\sim} g$.

La seule fonction équivalente à la fonction nulle au voisinage de $a$ est la fonction nulle au voisinage de $a$.

Donner un équivalent simple aux fonctions suivantes en $+\infty$ :

1. $x\mapsto \sqrt{x}-x+2x^{\frac{3}{2}}$
2. $x\mapsto x^2+2x+\ln x+\frac{1}{x}$

Toutes les méthodes précédentes supposent que l'on sait calculer la fonction étudiée. Que faire lorsqu'on ne dispose d'elle que par un encadrement — cas typique d'une différence, d'une somme ou d'une intégrale que l'on ne sait pas expliciter ?

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions réelles définies sur $I$ telles que $f \leqslant g \leqslant h$ au voisinage de $a$.

Si $f$ et $h$ sont équivalentes à une même fonction $\varphi$ en $a$, alors $g \underset{a}{\sim} \varphi$.

Si $f \leqslant g \leqslant h$ au voisinage de $a$ et si $f \underset{a}{\sim} \varphi$, alors $g \underset{a}{\sim} \varphi$.

Déterminer un équivalent simple en $+\infty$ de la fonction $f : x \mapsto \arctan(x+1) - \arctan(x)$.

Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure déjà, par définition, le comportement de $f(x)-f(a)$ face à $x-a$. Que devient cette définition dans le langage des équivalents — et quelle hypothèse faut-il y ajouter pour que la traduction soit correcte ?

Soit $f$ une fonction définie sur $I$. Supposons que $f$ soit dérivable en un point $a \in I$ et que $f'(a) \neq 0$. Alors, au voisinage de $a$ :

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f(x) - f(a) \underset{x\to a}{\sim} f'(a)(x-a)$.

$\sqrt{1+x}-1 \underset{x\to 0}{\sim} \dfrac{x}{2}$.

Donner un équivalent simple des fonctions suivantes au point indiqué :

1. $x\mapsto e^x-e$ en $1$
2. $x\mapsto \sqrt{x}-2$ en $4$
3. $x\mapsto \ln(\ln x)$ en $e$

Une fois écrit $f\sim g$, qu'a-t-on le droit de transférer de $g$ vers $f$ : sa limite ? son signe ? sa monotonie ? sa valeur approchée ?

Soient $f$ et $g$ deux fonctions équivalentes en $a$.

Si $g$ possède une limite finie ou infinie en $a$, alors $f$ admet également une limite en $a$ et $\lim_{a} f = \lim_{a} g.$

Si $f \underset{+\infty}{\sim} g$, alors $f-g$ tend vers $0$ en $+\infty$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions équivalentes en $a$.

1. Si $g$ est (strictement) positive au voisinage de $a$, alors $f$ l'est aussi.
2. Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $f$ non plus.

Si $f \underset{a}{\sim} g$ et si $g$ est strictement négative au voisinage de $a$, alors $f$ l'est aussi.

Un équivalent n'est utile que si l'on peut le propager dans un calcul. Quelles opérations préservent l'équivalence — et, tout aussi important, lesquelles ne la préservent pas ?

Soient $f, g, h, u$ quatre fonctions définies sur $I$. Si $f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x)$ et si $h(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x)$, alors :

1. $f(x) h(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) u(x)$
2. $\frac{f(x)}{h(x)} \underset{x \rightarrow a}{\sim} \frac{g(x)}{u(x)}$ si aucune de ces fonctions ne s'annule sur $I\setminus \{a\}$
3. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, $f(x)^{p} \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x)^{p}$
4. Pour $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}$, et si $f^{\alpha}$ et $g^{\alpha}$ sont bien définies sur $I$, alors $f(x)^{\alpha} \underset{a}{\sim} g(x)^{\alpha}$.

Si $f \underset{a}{\sim} g$ et $h \underset{a}{\sim} u$, alors $f + h \underset{a}{\sim} g + u$.

1. Donner un équivalent simple de la fonction $x\mapsto \cos x-1$ au voisinage de $0$.
2. Donner un équivalent simple de la fonction $x\mapsto \frac{x^2-1}{\ln x}$ au voisinage de $1$.

Les équivalents usuels sont tous écrits en $0$. Comment les exploiter lorsque la variable qui tend vers $0$ n'est pas $x$ elle-même, mais une expression comme $\frac{1}{t^2}$ ou $\cos t - 1$ ?

On suppose que $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ et que $f(x) \underset{a}{\sim} g(x)$.

Soit $\phi$ une fonction à valeurs dans $I$ telle que $\lim _{t \rightarrow b} \phi(t)=a$ avec $b \in \mathbb{R} \cup\{ \pm \infty\}$. Alors : $f \circ \phi(t) \underset{t\to b}{\sim} g \circ \phi(t)$

Montrer les équivalences suivantes : $\ln (\cos t) \underset{t\to 0}{\sim} -\frac{t^2}{2}$ et $\exp\left(\frac{1}{t^2}\right)-1\underset{t\to +\infty}{\sim}\frac{1}{t^2}$.

Si $f \underset{a}{\sim} g$, alors $e^{f} \underset{a}{\sim} e^{g}$.

Déterminer un équivalent des fonctions $f$ suivantes en $a$, puis calculer $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ :

1. $f(x)=x \ln \left(\frac{1+x}{x}\right)$, $a=+\infty$ ;
2. $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\ln \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)}$, $a=+\infty$ ;
3. $f(x)=x^3 \arctan \left(e^{-x}\right)$, $a=+\infty$ ;
4. $f(x)=\frac{1}{\sin (x)}-\frac{1}{\tan (x)}$, $a=0$.