Négligeabilité et domination

Les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto x^2$ tendent toutes les deux vers $0$ en $0$ : dire « elles tendent vers $0$ » ne les distingue pas. Pourtant $x^2$ est écrasée par $x$ quand $x$ devient petit. Comment fabriquer un langage qui mesure non pas la limite, mais la vitesse relative de deux fonctions au voisinage d'un point ?

Si $f \underset{a}{=} o(h)$ et $g \underset{a}{=} o(h)$, alors $f = g$ au voisinage de $a$.

Si $f \underset{a}{=} O(g)$, alors $f \underset{a}{=} o(g)$.

$x^{2} \sin \left( \dfrac{1}{x} \right)\underset{x\rightarrow 0}{=} o(x)$.

Revenir à la définition oblige à exhiber la fonction $u$ ou $\varepsilon$ à la main. Or ces fonctions sont visiblement des quotients « déguisés ». Quand a-t-on le droit de diviser par $g$, et que devient alors la définition ?

On suppose que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, dans ce cas $f(a)=0$ aussi. Alors :

1. $f$ est dominée par la fonction $g$ en $a$ si, et seulement si, la fonction $\frac{f}{g}$ est bornée sur $I\setminus \{a\}$.
2. $f$ est négligeable devant la fonction $g$ en $a$ si, et seulement si, la fonction $\frac{f}{g}$ a pour limite $0$ en $a$.

Pour toutes fonctions $f$ et $g$ définies au voisinage de $a$, on a $f \underset{a}{=} O(g)$ si, et seulement si, $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$.

Soient $(\alpha, \beta) \in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{2}$, avec $\alpha<\beta$.

Comparer les fonctions puissances $x \mapsto x^{\alpha}$ et $x \mapsto x^{\beta}$ au voisinage de $0$ et au voisinage de $+\infty$.

Une fois quelques comparaisons de référence établies, va-t-on devoir tout redémontrer à chaque nouvelle expression ? Autrement dit : les relations $O$ et $o$ se transmettent-elles aux produits, aux sommes, et s'enchaînent-elles entre elles ?

Au voisinage de $a$, on a les propriétés suivantes.

1. Produit :

   • Si $f_1 = O(\varphi_1)$ et $f_2 = O(\varphi_2)$, alors $f_1 f_2 = O(\varphi_1 \varphi_2)$.
   • Si $f_1 = o(\varphi_1)$ et $f_2 = O(\varphi_2)$, alors $f_1 f_2 = o(\varphi_1 \varphi_2)$.
   • Si $f_1 = o(\varphi_1)$ et $f_2 = o(\varphi_2)$, alors $f_1 f_2 = o(\varphi_1 \varphi_2)$.

2. Somme :

   • Si $f_1 = O(\varphi)$ et $f_2 = O(\varphi)$, alors $f_1 + f_2 = O(\varphi)$.
   • Si $f_1 = o(\varphi)$ et $f_2 = o(\varphi)$, alors $f_1 + f_2 = o(\varphi)$.

3. Transitivité :

   • Si $f = O(\varphi_1)$ et $\varphi_1 = O(\varphi_2)$, alors $f = O(\varphi_2)$.
   • Si $f = o(\varphi_1)$ et $\varphi_1 = O(\varphi_2)$, alors $f = o(\varphi_2)$.
   • Si $f = O(\varphi_1)$ et $\varphi_1 = o(\varphi_2)$, alors $f = o(\varphi_2)$.
   • Si $f = o(\varphi_1)$ et $\varphi_1 = o(\varphi_2)$, alors $f = o(\varphi_2)$.

Si $f_1 \underset{a}{=} o(\varphi)$ et $f_2 \underset{a}{=} O(\varphi)$, alors $f_1 + f_2 \underset{a}{=} o(\varphi)$.

Toutes les comparaisons sont prises au voisinage de $+\infty$, et l'on admet la comparaison usuelle $\ln x = o\!\left(\sqrt{x}\right)$.

1. Montrer que $\sqrt{x}\,\ln x = o(x)$, puis que $\sqrt{x}\,\ln x + 3x = O(x)$.
2. Montrer que $\dfrac{1}{x^2+1} = O\!\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$.
3. En déduire que $\dfrac{\sqrt{x}\,\ln x + 3x}{x^2+1} = O\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$.

Une comparaison n'est pas seulement un outil de calcul : que permet-elle de conclure sur $f$ elle-même, lorsque l'on connaît déjà le comportement de $g$ ?

1. Si $f \underset{a}{=} O(g)$ et si $g$ est bornée au voisinage de $a$, alors $f$ est également bornée au voisinage de $a$.
2. Si $f \underset{a}{=} O(g)$ et si la fonction $g$ tend vers $0$ en $a$, alors $\lim_{a} f = 0$.
3. Si $f \underset{a}{=} o(g)$ et si $g$ est bornée au voisinage de $a$, alors $\lim_{a} f = 0$.

Si $f \underset{a}{=} O(g)$ et si $\lim_{a} g = 0$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.

Toutes les comparaisons précédentes se ramènent à des règles formelles ; encore faut-il disposer d'un stock de comparaisons de référence entre les fonctions usuelles. Qui, du logarithme, de la puissance et de l'exponentielle, l'emporte sur qui — et cela dépend-il de la taille des exposants ?

Soient $(\alpha, \beta) \in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{2}$.

1. $x^{\alpha} \underset{x\rightarrow +\infty}{=} o(x^{\beta})$ si $\alpha<\beta$
2. $x^{\beta} \underset{x\rightarrow 0}{=} o(x^{\alpha})$ si $\alpha<\beta$
3. $\ln(x)^{\beta} \underset{x\rightarrow +\infty}{=} o(x^{\alpha})$
4. $x^{\beta}\underset{x\rightarrow +\infty}{=} o(e^{\alpha x})$
5. $|\ln(x)|^{\beta}\underset{x\rightarrow 0}{=} o\left( \dfrac{1}{x^{\alpha}} \right)$
6. $e^{\alpha x}\underset{x\rightarrow -\infty}{=} o\left( \dfrac{1}{x^{\beta}} \right)$

$(\ln x)^{100} \underset{x\rightarrow +\infty}{=} o\!\left(x^{1/100}\right)$.

Démontrer les égalités suivantes :

1. $\sqrt{x}-x+2x^{\frac{3}{2}}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sqrt{x}+o(\sqrt{x})$
2. $\frac{2}{x} - \frac{3}{x\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}\underset{x\rightarrow +\infty}{=} \frac{2}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
3. $\frac{1}{x+1}\underset{x\rightarrow +\infty}{=}\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$
4. $\ln (\sin x)\underset{x\rightarrow 0^+}{=}\ln x+o(\ln x)$