Formule de Taylor-Young et DL usuels

Dans toute cette leçon, $I$ désigne un intervalle réel d'intérieur non vide et $f$ une fonction définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$.

La formule de Taylor-Young

Question

Jusqu'ici, chaque développement limité a été obtenu par une ruse propre à la fonction étudiée : identité géométrique pour $\frac{1}{1-x}$, primitivation pour $\arctan$. Existe-t-il un procédé universel, qui fabrique le développement limité d'une fonction à partir de la seule donnée de ses dérivées successives en un point ?

Théorème 1 : Formule de Taylor-Young à l'ordre n en x₀

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ et d'intérieur non vide, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $x_0$, qui s'écrit :

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x - x_0)^k + o\!\left((x - x_0)^n\right).$$

Test 1 : La réciproque de Taylor-Young

Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $2$ en $0$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $0$.

vraifaux

Test 2 : Des dérivées toutes nulles

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et si tous ses développements limités en $0$ ont une partie régulière nulle, alors $f$ est nulle au voisinage de $0$.

vraifaux

Exercice 1 : Un développement limité à l'ordre 2 sans dérivée seconde

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x+x^3\sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$.

Montrer que $f$ possède un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ et qu'elle n'est pas deux fois dérivable en $0$.

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Le développement limité. Pour $x\neq0$,

$$\left|\frac{f(x)-x}{x^2}\right| = \left|x\sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)\right| \leqslant |x| \xrightarrow[x\to0]{} 0 ,$$

donc $f(x)-x = o(x^2)$, et cette égalité vaut encore en $x=0$ où les deux membres sont nuls. Ainsi

$$f(x) \underset{x\to0}{=} 0 + x + 0\times x^2 + o(x^2) :$$

$f$ admet bien un développement limité à l'ordre $2$ en $0$, de partie régulière $x\mapsto x$.

L'absence de dérivée seconde. La troncature à l'ordre $1$ donne $f(x)=x+o(x)$, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=1$.

Pour $x\neq0$, $f$ est dérivable comme composée et produit de fonctions dérivables, et

$$f'(x) = 1+3x^2\sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)+x^3\times\left(-\frac{2}{x^3}\right)\cos\!\left(\frac{1}{x^2}\right) = 1+3x^2\sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)-2\cos\!\left(\frac{1}{x^2}\right).$$

Si $f$ était deux fois dérivable en $0$, la fonction $f'$ y serait dérivable, donc continue en $0$ : on aurait $f'(x)\to f'(0)=1$. Or, en posant $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$ et $y_n = \frac{1}{\sqrt{(2n+1)\pi}}$, deux suites de limite $0$,

$$f'(x_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1+0-2 = -1 \qquad\text{et}\qquad f'(y_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1+0+2 = 3 .$$

La fonction $f'$ n'a donc pas de limite en $0$ : elle n'y est pas continue, a fortiori pas dérivable. La fonction $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.

Exercice 2 : Taylor-Young en un point autre que 0

Déterminer le développement limité à l'ordre $3$ de la fonction $\sin$ au point $\frac{\pi}{4}$.

▸Solution :(cliquer pour afficher)

La fonction $\sin$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ : la formule de Taylor-Young s'applique à tout ordre en $x_0=\frac\pi4$. Ses quatre premières dérivées sont

$$\sin,\quad \cos,\quad -\sin,\quad -\cos ,$$

d'où, en utilisant $\sin\frac\pi4 = \cos\frac\pi4 = \frac{\sqrt2}{2}$ :

$$f\!\left(\tfrac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2},\quad f'\!\left(\tfrac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2},\quad f''\!\left(\tfrac\pi4\right)=-\frac{\sqrt2}{2},\quad f'''\!\left(\tfrac\pi4\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

La formule de Taylor-Young à l'ordre $3$ donne alors

$$\sin x \underset{x\to \pi/4}{=} \frac{\sqrt2}{2}\left[1+\left(x-\frac\pi4\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac\pi4\right)^2-\frac{1}{6}\left(x-\frac\pi4\right)^3\right]+o\!\left(\left(x-\frac\pi4\right)^3\right),$$

c'est-à-dire

$$\sin x \underset{x\to \pi/4}{=} \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\left(x-\frac\pi4\right)-\frac{\sqrt2}{4}\left(x-\frac\pi4\right)^2-\frac{\sqrt2}{12}\left(x-\frac\pi4\right)^3+o\!\left(\left(x-\frac\pi4\right)^3\right).$$

Obtenir les développements limités usuels

Question

La formule de Taylor-Young transforme le calcul d'un développement limité en un calcul de dérivées successives. Que donne-t-elle sur les fonctions de référence — et pourquoi la précision obtenue pour $\cos$ et $\sin$ est-elle meilleure que l'ordre auquel on applique le théorème ?

Exercice 3 : Développements limités de exp, cos et sin

Soit $n\in\mathbb{N}$.

1. Établir le développement limité de $\exp$ à l'ordre $n$ en $0$.
2. Pour $k\in\mathbb{N}$ et $x\in\mathbb{R}$, on admet que $\cos^{(k)}(x)=\cos\!\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)$ et $\sin^{(k)}(x)=\sin\!\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)$. Calculer $\cos^{(k)}(0)$ et $\sin^{(k)}(0)$ selon la parité de $k$.
3. En déduire les développements limités de $\cos$ à l'ordre $2n+1$ et de $\sin$ à l'ordre $2n+2$ en $0$.

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1. La fonction $\exp$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et $\exp^{(k)} = \exp$, donc $\exp^{(k)}(0)=1$ pour tout $k\in\mathbb{N}$. La formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ en $0$ donne

$$e^x \underset{x\to0}{=} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + o(x^n)= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n).$$

2. Pour $k$ pair, $k=2p$ : $\cos^{(2p)}(0)=\cos(p\pi)=(-1)^p$ et $\sin^{(2p)}(0)=\sin(p\pi)=0$.

Pour $k$ impair, $k=2p+1$ : $\cos^{(2p+1)}(0)=\cos\!\left(\frac\pi2+p\pi\right)=0$ et $\sin^{(2p+1)}(0)=\sin\!\left(\frac\pi2+p\pi\right)=(-1)^p$.

Ainsi

$$\left\{\begin{aligned} \cos^{(2p)}(0) &= (-1)^{p}\\ \cos^{(2p+1)}(0) &= 0 \end{aligned}\right. \qquad\text{et}\qquad \left\{\begin{aligned} \sin^{(2p)}(0) &= 0\\ \sin^{(2p+1)}(0) &= (-1)^{p} \end{aligned}\right.$$

3. Pour $\cos$. Appliquons Taylor-Young à l'ordre $2n+1$ : les dérivées d'ordre impair étant nulles en $0$, seuls subsistent les termes d'indice pair $k=2p$ avec $0\leqslant p\leqslant n$, de coefficient $\frac{(-1)^p}{(2p)!}$. D'où

$$\cos x \underset{x\to0}{=} \sum_{p=0}^{n}(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+o\!\left(x^{2n+1}\right) = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\!\left(x^{2n+1}\right).$$

C'est là que se gagne l'ordre supplémentaire : la partie régulière s'arrête au degré $2n$, mais la précision est $o\!\left(x^{2n+1}\right)$ parce que le coefficient de $x^{2n+1}$ est nul.

Pour $\sin$. Même raisonnement à l'ordre $2n+2$ : seules survivent les dérivées d'ordre impair $k=2p+1$ avec $0\leqslant p\leqslant n$, de coefficient $\frac{(-1)^p}{(2p+1)!}$. D'où

$$\sin x \underset{x\to0}{=} \sum_{p=0}^{n}(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+o\!\left(x^{2n+2}\right) = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\!\left(x^{2n+2}\right).$$

Test 3 : Un ordre gagné par parité

$\cos x \underset{x\to0}{=} 1-\dfrac{x^2}{2}+o\!\left(x^3\right)$.

vraifaux

Développements limités en 0 des fonctions usuelles

• $e^x \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k !}+o\left(x^n\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+o\left(x^n\right)$
• $\cos x\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^n(-1)^k \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right)$
• $\sin x \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n(-1)^k \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^3}{6}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right)$
• $\cosh x \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots+\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right)$
• $\sinh x \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} x+\frac{x^3}{6}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right)$
• $(1+x)^\alpha \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+\sum_{k=1}^n \alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1) \frac{x^k}{k !}+o\left(x^n\right)$
• $\frac{1}{1+x} \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n(-1)^k x^k+o\left(x^n\right) =1-x+x^2+\cdots+(-1)^n x^n+o\left(x^n\right)$
• $\frac{1}{1-x} \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^n x^k+o\left(x^n\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+x^2+\cdots+x^n+o\left(x^n\right)$
• $\ln (1+x)\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1} \frac{x^k}{k}+o\left(x^n\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
• $\ln (1-x) \underset{x \rightarrow 0}{=}-\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}+o\left(x^n\right) \underset{x \rightarrow 0}{=}-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\cdots-\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
• $\arctan x \underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^n(-1)^k \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}+o\left(x^{2 n+2}\right) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+2}\right)$
• $\tan x \underset{x \rightarrow 0}{=} x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^6\right)$

Test 4 : Quand le développement s'arrête tout seul

Si $\alpha = 3$, la partie régulière du développement limité de $x\mapsto(1+x)^\alpha$ à l'ordre $n$ en $0$ est nulle au-delà du degré $3$, quel que soit $n\geqslant3$.

vraifaux

Test 5 : Le signe dans le développement de ln(1−x)

$\ln(1-x) \underset{x\to0}{=} -x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+o\!\left(x^3\right)$.

vraifaux