MPSI · Espaces vectoriels

Bases

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Question

La liberté supprime toute redondance ; le caractère générateur garantit qu'on atteint tout EE. Que se passe-t-il quand une famille possède les deux qualités à la fois ? On peut espérer le meilleur des deux mondes : tout vecteur s'écrit à partir de la famille (elle engendre) et d'une seule manière (elle est libre). Une telle famille permettrait de ramener chaque vecteur, aussi abstrait soit-il, à une simple liste de scalaires : ses coordonnées. Cet objet idéal existe-t-il, et tient-il vraiment cette promesse d'unicité ?

Définition et exemples

Définition 1 : Base

Une base de EE est une famille de EE à la fois libre et génératrice.

Exemple :

  1. (1,i)(1,i) est une base du R\mathbb{R}-espace vectoriel C\mathbb{C}.
  2. (ei)1⩽i⩽n(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n} est une base de Kn\mathbb{K}^n, appelée base canonique.
  3. (Ei,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽p(E_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p} est une base de Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}).
  4. (Xk)0⩽k⩽n(X^k)_{0\leqslant k\leqslant n} est une base de Kn[X]\mathbb{K}_n[X].
  5. (Xn)n∈N(X^n)_{n\in\mathbb{N}} est une base de K[X]\mathbb{K}[X].

Test 1

La famille ((1,0,0),(0,1,0))\big((1,0,0),(0,1,0)\big) est une base de R3\mathbb{R}^3.

Exercice 1 : Une base de 𝕂ₙ[X]

Soit a∈Ka\in\mathbb{K}. Montrer que la famille ((X−a)k)0⩽k⩽n\big((X-a)^k\big)_{0\leqslant k\leqslant n} est une base de Kn[X]\mathbb{K}_n[X].

Solution :(cliquer pour afficher)
  • Liberté. La famille ((X−a)k)0⩽k⩽n\big((X-a)^k\big)_{0\leqslant k\leqslant n} est une famille de polynômes non nuls, de degrés 0,1,…,n0,1,\dots,n deux à deux distincts : elle est échelonnée en degré, donc libre.
  • Génératrice. Soit P∈Kn[X]P\in\mathbb{K}_n[X]. D'après la formule de Taylor pour les polynômes,
P=∑k=0nP(k)(a)k! (X−a)k,P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X-a)^k,

donc P∈vect⁡((X−a)k)0⩽k⩽nP\in\operatorname{vect}\big((X-a)^k\big)_{0\leqslant k\leqslant n}. Ainsi la famille engendre Kn[X]\mathbb{K}_n[X].

  • Conclusion. Libre et génératrice, ((X−a)k)0⩽k⩽n\big((X-a)^k\big)_{0\leqslant k\leqslant n} est une base de Kn[X]\mathbb{K}_n[X].

Coordonnées dans une base

Théorème 1

Soit (ei)i∈I(e_i)_{i\in I} une base de EE. Pour tout x∈Ex\in E, il existe une unique famille presque nulle (λi)i∈I∈K(I)(\lambda_i)_{i\in I}\in\mathbb{K}^{(I)} telle que

x=∑i∈Iλiei.x=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i.

Démonstration :

Soit x∈Ex\in E.

  • Existence. La famille (ei)i∈I(e_i)_{i\in I} est génératrice, donc x∈E=vect⁡((ei)i∈I)x\in E=\operatorname{vect}\big((e_i)_{i\in I}\big). D'après la description du sous-espace engendré par une famille, il existe (λi)i∈I∈K(I)(\lambda_i)_{i\in I}\in\mathbb{K}^{(I)} (famille à support fini) telle que x=∑i∈Iλieix=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i.
  • Unicité. Supposons x=∑i∈Iλiei=∑i∈Iμieix=\sum_{i\in I}\lambda_i e_i=\sum_{i\in I}\mu_i e_i avec (λi),(μi)∈K(I)(\lambda_i),(\mu_i)\in\mathbb{K}^{(I)}. La famille (ei)i∈I(e_i)_{i\in I} étant libre, l'unicité des coefficients pour une famille libre donne λi=μi\lambda_i=\mu_i pour tout i∈Ii\in I.

D'où l'existence et l'unicité de la famille (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I}.

Définition 2 : Coordonnées dans une base

Avec les notations du théorème, les scalaires (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} sont appelés coordonnées (ou composantes) de xx dans la base (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}.

Remarque :

  1. Tout vecteur x∈Ex\in E est entièrement déterminé par ses coordonnées dans une base donnée.
  2. L'application
φ:K(I)⟶E(xi)i∈I⟼∑i∈Ixi ei\begin{array}{cccl} \varphi : & \mathbb{K}^{(I)} & \longrightarrow & E \\ & (x_i)_{i\in I} & \longmapsto & \displaystyle\sum_{i\in I}x_i\,e_i \end{array}

est bijective.

Test 2

Les coordonnées d'un vecteur dépendent de la base choisie : un même vecteur x≠0Ex\neq 0_E peut avoir des coordonnées différentes dans deux bases différentes.