MPSI · Espaces vectoriels

Structure d'espace vectoriel

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Question

On sait additionner deux vecteurs du plan, deux polynômes, deux fonctions, deux suites, deux matrices — et, dans chaque cas, les multiplier par un nombre. Ces situations très différentes obéissent-elles aux mêmes règles de calcul ? Peut-on dégager une seule structure abstraite qui les gouverne toutes à la fois, et raisonner une bonne fois pour toutes au lieu de tout refaire dans chaque contexte ?

Définition et règles de calcul

Définition 1 : Espace vectoriel

Soit EE un ensemble muni d'une loi de composition interne ++ et d'une loi externe

K×E⟶E(λ,x)⟼λ⋅x.\begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times E & \longrightarrow & E \\ (\lambda,x) & \longmapsto & \lambda\cdot x. \end{array}

On dit que (E,+,⋅)(E,+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel si :

  1. (E,+)(E,+) est un groupe abélien ;
  2. pour tous x,y∈Ex,y\in E et λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K} :
    1. λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y
    2. (λ+μ)⋅x=λ⋅x+μ⋅x(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x
    3. λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\mu)\cdot x
    4. 1⋅x=x1\cdot x=x

Vocabulaire :

Les éléments de EE sont appelés vecteurs et les éléments de K\mathbb{K} sont appelés scalaires.

Proposition 1

Soient λ∈K\lambda\in\mathbb{K} et x∈Ex\in E. Alors :

  1. 0⋅x=0E0\cdot x=0_E
  2. λ⋅0E=0E\lambda\cdot 0_E=0_E
  3. (−λ)⋅x=λ⋅(−x)=−(λ⋅x)(-\lambda)\cdot x=\lambda\cdot(-x)=-(\lambda\cdot x)

Démonstration :

  1. On a 0⋅x=(0+0)⋅x=0⋅x+0⋅x0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x, donc 0⋅x=0E0\cdot x=0_E.
  2. On a λ⋅0E=λ⋅(0E+0E)=λ⋅0E+λ⋅0E\lambda\cdot 0_E=\lambda\cdot(0_E+0_E)=\lambda\cdot 0_E+\lambda\cdot 0_E, donc λ⋅0E=0E\lambda\cdot 0_E=0_E.
  3. On a λ⋅x+(−λ)⋅x=(λ−λ)⋅x=0⋅x=0E\lambda\cdot x+(-\lambda)\cdot x=(\lambda-\lambda)\cdot x=0\cdot x=0_E, donc (−λ)⋅x=−(λ⋅x)(-\lambda)\cdot x=-(\lambda\cdot x). De plus λ⋅(x−x)=λ⋅0E=0E\lambda\cdot(x-x)=\lambda\cdot 0_E=0_E, c'est-à-dire λ⋅x+λ⋅(−x)=0E\lambda\cdot x+\lambda\cdot(-x)=0_E, d'où λ⋅(−x)=−(λ⋅x)\lambda\cdot(-x)=-(\lambda\cdot x).

Proposition 2

Soient λ∈K\lambda\in\mathbb{K} et x∈Ex\in E. Si λ⋅x=0E\lambda\cdot x=0_E, alors λ=0\lambda=0 ou x=0Ex=0_E.

Démonstration :

Supposons λ⋅x=0E\lambda\cdot x=0_E. Si λ≠0\lambda\neq 0, alors 1λ⋅(λ⋅x)=0E\dfrac{1}{\lambda}\cdot(\lambda\cdot x)=0_E, donc (1λ×λ)⋅x=0E\left(\dfrac{1}{\lambda}\times\lambda\right)\cdot x=0_E, c'est-à-dire 1⋅x=0E1\cdot x=0_E, et ainsi x=0Ex=0_E.

Test 1

Soient λ∈K\lambda\in\mathbb{K} et x∈Ex\in E. Si λ⋅x=0E\lambda\cdot x=0_E, alors x=0Ex=0_E.

Proposition 3

Soient E1,…,EnE_1,\dots,E_n des K\mathbb{K}-espaces vectoriels. On munit l'ensemble E1×⋯×EnE_1\times\dots\times E_n des deux lois suivantes :

  1. pour tous (x1,…,xn),(y1,…,yn)∈E1×⋯×En(x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n)\in E_1\times\dots\times E_n,
(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn) ;(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)\,;
  1. pour tous (x1,…,xn)∈E1×⋯×En(x_1,\dots,x_n)\in E_1\times\dots\times E_n et λ∈K\lambda\in\mathbb{K},
λ⋅(x1,…,xn)=(λ⋅x1,…,λ⋅xn).\lambda\cdot(x_1,\dots,x_n)=(\lambda\cdot x_1,\dots,\lambda\cdot x_n).

Alors (E1×⋯×En,+,⋅)(E_1\times\dots\times E_n,+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Démonstration :

Notons F=E1×⋯×EnF=E_1\times\dots\times E_n et 0F=(0E1,…,0En)0_F=(0_{E_1},\dots,0_{E_n}).

  • (F,+)(F,+) est un groupe abélien : l'addition étant définie composante par composante, elle hérite de l'associativité et de la commutativité de chaque (Ei,+)(E_i,+) ; 0F0_F est élément neutre, et (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) admet pour opposé (−x1,…,−xn)(-x_1,\dots,-x_n).
  • Soient x=(x1,…,xn)x=(x_1,\dots,x_n), y=(y1,…,yn)y=(y_1,\dots,y_n) dans FF et λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K}. Les axiomes de la loi externe se vérifient composante par composante à partir de ceux de chaque EiE_i ; par exemple
λ⋅(x+y)=(λ⋅(x1+y1),…,λ⋅(xn+yn))=(λ⋅x1+λ⋅y1,… )=λ⋅x+λ⋅y,\lambda\cdot(x+y)=\big(\lambda\cdot(x_1+y_1),\dots,\lambda\cdot(x_n+y_n)\big)=(\lambda\cdot x_1+\lambda\cdot y_1,\dots)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y,

et de même (λ+μ)⋅x=λ⋅x+μ⋅x(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x, λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\mu)\cdot x et 1⋅x=x1\cdot x=x.

Ainsi (F,+,⋅)(F,+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Espaces vectoriels usuels

Proposition 4

(C,+,⋅)(\mathbb{C},+,\cdot), (Mn,p(K),+,⋅)(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+,\cdot), (K[X],+,⋅)(\mathbb{K}[X],+,\cdot) et (Kn,+,⋅)(\mathbb{K}^n,+,\cdot) sont des K\mathbb{K}-espaces vectoriels.

Démonstration :

Dans chaque cas, les lois sont l'addition et la multiplication externe usuelles, et les axiomes se ramènent aux règles de calcul déjà connues sur l'ensemble concerné.

  • K\mathbb{K} est lui-même un K\mathbb{K}-espace vectoriel (avec ses propres addition et multiplication). Dès lors Kn=K×⋯×K\mathbb{K}^n=\mathbb{K}\times\dots\times\mathbb{K} est un K\mathbb{K}-espace vectoriel d'après la proposition précédente.
  • (C,+,⋅)(\mathbb{C},+,\cdot) : (C,+)(\mathbb{C},+) est un groupe abélien, et pour λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K} et z,z′∈Cz,z'\in\mathbb{C} les quatre axiomes de la loi externe découlent de la distributivité et de l'associativité du produit dans C\mathbb{C}.
  • (Mn,p(K),+,⋅)(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+,\cdot) et (K[X],+,⋅)(\mathbb{K}[X],+,\cdot) : mêmes vérifications, les axiomes résultant des règles de calcul sur les matrices et sur les polynômes.

Remarque :

  1. R\mathbb{R} est un R\mathbb{R}-espace vectoriel.
  2. C\mathbb{C} est un R\mathbb{R}-espace vectoriel et un C\mathbb{C}-espace vectoriel.

Test 2

L'ensemble C\mathbb{C} peut être muni d'une structure de R\mathbb{R}-espace vectoriel comme d'une structure de C\mathbb{C}-espace vectoriel, et ces deux structures ne sont pas les mêmes.

Proposition 5

Soient Ω\Omega un ensemble non vide et EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel. L'ensemble EΩE^{\Omega} des applications de Ω\Omega dans EE, muni des lois

f+g: Ω⟶Et⟼f(t)+g(t)etλ⋅f: Ω⟶Et⟼λ⋅f(t)f+g:\ \begin{array}{ccl}\Omega & \longrightarrow & E\\ t & \longmapsto & f(t)+g(t)\end{array} \qquad\text{et}\qquad \lambda\cdot f:\ \begin{array}{ccl}\Omega & \longrightarrow & E\\ t & \longmapsto & \lambda\cdot f(t)\end{array}

est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Démonstration :

  • (EΩ,+)(E^{\Omega},+) est un groupe abélien : l'addition des applications est définie point par point, donc elle hérite de l'associativité et de la commutativité de (E,+)(E,+) ; l'application nulle t⟼0Et\longmapsto 0_E est neutre, et −f:t⟼−f(t)-f:t\longmapsto -f(t) est l'opposé de ff.
  • Deux applications sont égales si et seulement si elles coïncident en tout point. Or, pour λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K}, f,g∈EΩf,g\in E^{\Omega} et tout t∈Ωt\in\Omega,
(λ⋅(f+g))(t)=λ⋅(f(t)+g(t))=λ⋅f(t)+λ⋅g(t)=(λ⋅f+λ⋅g)(t),\big(\lambda\cdot(f+g)\big)(t)=\lambda\cdot\big(f(t)+g(t)\big)=\lambda\cdot f(t)+\lambda\cdot g(t)=\big(\lambda\cdot f+\lambda\cdot g\big)(t),

et de même pour les trois autres axiomes. Ces égalités étant vraies en tout tt, elles valent entre applications.

Ainsi (EΩ,+,⋅)(E^{\Omega},+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Exemple :

  1. (KN,+,⋅)(\mathbb{K}^{\mathbb{N}},+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.
  2. (F(I,K),+,⋅)(\mathcal{F}(I,\mathbb{K}),+,\cdot) est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Combinaisons linéaires

Définition 2 : Combinaison linéaire d'une famille finie

Soient (x1,…,xn)∈En(x_1,\dots,x_n)\in E^n et x∈Ex\in E. On dit que xx est combinaison linéaire des vecteurs x1,…,xnx_1,\dots,x_n s'il existe (λ1,…,λn)∈Kn(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n tel que

x=∑i=1nλixi.x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i.

Exemple :

  1. Dans le R\mathbb{R}-espace vectoriel C\mathbb{C}, tout élément est combinaison linéaire de 11 et ii.
  2. Dans le R\mathbb{R}-espace vectoriel R3\mathbb{R}^3, tout élément (x,y,z)(x,y,z) est combinaison linéaire de (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0) et (0,0,1)(0,0,1).
  3. Dans le K\mathbb{K}-espace vectoriel Kn[X]\mathbb{K}_n[X], tout élément PP est combinaison linéaire de la famille (Xk)0⩽k⩽n(X^k)_{0\leqslant k\leqslant n}.
  4. Dans le R\mathbb{R}-espace vectoriel F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), les fonctions cosh⁡\cosh et sinh⁡\sinh sont combinaisons linéaires de x⟼exx\longmapsto \mathrm{e}^{x} et x⟼e−xx\longmapsto \mathrm{e}^{-x}.
  5. Dans le K\mathbb{K}-espace vectoriel Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), toute matrice est combinaison linéaire de la famille (Ei,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽p(E_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p}.

Définition 3 : Support d'une famille de scalaires

Soit (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} une famille de scalaires.

  1. On appelle support de la famille (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} l'ensemble {i∈I∣λi≠0}\{i\in I \mid \lambda_i\neq 0\}.
  2. On dit que (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} est à support fini (ou à support presque nul) si son support est fini.

Notation :

On note K(I)\mathbb{K}^{(I)} l'ensemble des familles de scalaires (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} à support fini.

Exemple :

Tout polynôme est une suite (de ses coefficients) à support fini.

Définition 4 : Combinaison linéaire d'une famille quelconque

Soient (xi)i∈I(x_i)_{i\in I} une famille d'éléments de EE et x∈Ex\in E. On dit que xx est combinaison linéaire de (xi)i∈I(x_i)_{i\in I} s'il existe une famille (λi)i∈I(\lambda_i)_{i\in I} à support fini telle que

x=∑i∈Iλixi.x=\sum_{i\in I}\lambda_i x_i.

Test 3

Une combinaison linéaire d'une famille infinie (xi)i∈I(x_i)_{i\in I} peut faire intervenir une infinité de coefficients λi\lambda_i non nuls.

Exemple :

Tout polynôme P∈K[X]P\in\mathbb{K}[X] est combinaison linéaire de la famille (Xn)n∈N(X^n)_{n\in\mathbb{N}}.

Convention :

Si I=∅I=\varnothing, on convient que ∑i∈Iλixi=0E\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i x_i=0_E.