MPSI · Espaces vectoriels

Structure d'espace vectoriel

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Question

Comment reconnaître les espaces où l'on a le droit de « faire de l'algèbre linéaire », et comment y calculer une combinaison linéaire de vecteurs ?

L'essentiel

Définition 1 : Espace vectoriel

Un K\mathbb{K}-espace vectoriel est un ensemble EE muni d'une addition ++ et d'une multiplication par les scalaires λ⋅x\lambda\cdot x (avec λ∈K\lambda\in\mathbb{K}) tels que :

  • (E,+)(E,+) est un groupe abélien (addition associative, commutative, avec un neutre 0E0_E et des opposés) ;
  • pour tous x,y∈Ex,y\in E et λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K} :
λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y,(λ+μ)⋅x=λ⋅x+μ⋅x,λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x,1⋅x=x.\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y,\quad (\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x,\quad \lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\mu)\cdot x,\quad 1\cdot x=x.

Les éléments de EE sont les vecteurs, ceux de K\mathbb{K} les scalaires. En pratique, tu n'auras presque jamais à vérifier ces axiomes : tu travailleras dans des espaces déjà connus.

Les espaces vectoriels à connaître par cœur (tous sur K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}) :

R,C,Kn,K[X],Kn[X],Mn,p(K),KN (suites),F(I,K) (fonctions).\mathbb{R},\quad \mathbb{C},\quad \mathbb{K}^n,\quad \mathbb{K}[X],\quad \mathbb{K}_n[X],\quad \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\quad \mathbb{K}^{\mathbb{N}}\ (\text{suites}),\quad \mathcal{F}(I,\mathbb{K})\ (\text{fonctions}).

Définition 2 : Combinaison linéaire

Un vecteur xx est combinaison linéaire des vecteurs x1,…,xnx_1,\dots,x_n s'il existe des scalaires λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n tels que

x=λ1x1+⋯+λnxn.x=\lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n.

Méthode

Rédaction — Décomposer un vecteur en combinaison linéaire :

Pour écrire xx comme combinaison linéaire de v1,…,vpv_1,\dots,v_p :

  1. Pose x=λ1v1+⋯+λpvpx=\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_p v_p avec des scalaires inconnus λ1,…,λp\lambda_1,\dots,\lambda_p.
  2. Traduis cette égalité en un système : une équation par coordonnée.
  3. Résous le système. S'il a une solution, tu tiens tes coefficients ; sinon, xx n'est pas combinaison linéaire des viv_i.

Exemple :

Dans R3\mathbb{R}^3, décomposons (2,−1,3)(2,-1,3) sur la base canonique :

(2,−1,3)=2(1,0,0)−1(0,1,0)+3(0,0,1).(2,-1,3)=2(1,0,0)-1(0,1,0)+3(0,0,1).

Les coefficients se lisent directement sur les coordonnées.

Exemple :

Dans F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), la fonction cosh⁡\cosh est combinaison linéaire de x↦exx\mapsto \mathrm{e}^x et x↦e−xx\mapsto \mathrm{e}^{-x} :

cosh⁡=12 ex+12 e−x.\cosh=\tfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{x}+\tfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-x}.

Exercice 1 : Une combinaison linéaire dans ℝ²

Écris (3,−1)(3,-1) comme combinaison linéaire de (1,1)(1,1) et (1,−1)(1,-1).

Solution :(cliquer pour afficher)

On pose (3,−1)=a(1,1)+b(1,−1)=(a+b, a−b)(3,-1)=a(1,1)+b(1,-1)=(a+b,\ a-b), d'où le système

{a+b=3a−b=−1.\begin{cases} a+b=3\\ a-b=-1.\end{cases}

En additionnant : 2a=22a=2, donc a=1a=1, puis b=2b=2. Ainsi

(3,−1)=1⋅(1,1)+2⋅(1,−1).(3,-1)=1\cdot(1,1)+2\cdot(1,-1).