MPSI · Espaces vectoriels

Sous-espace engendré par une partie

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Question

Étant donné quelques vecteurs, comment décrire concrètement le plus petit sous-espace qui les contient, et comment décider si un vecteur en fait partie ?

L'essentiel

Définition 1 : Sous-espace engendré

Le sous-espace engendré par des vecteurs v1,…,vpv_1,\dots,v_p, noté vect⁡(v1,…,vp)\operatorname{vect}(v_1,\dots,v_p), est l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires :

vect⁡(v1,…,vp)={λ1v1+⋯+λpvp∣λ1,…,λp∈K}.\operatorname{vect}(v_1,\dots,v_p)=\{\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_p v_p \mid \lambda_1,\dots,\lambda_p\in\mathbb{K}\}.

C'est un sous-espace vectoriel de EE.

Méthode

Rédaction — Montrer qu'un vecteur x appartient à vect(v₁, …, vₚ) :

  1. Pose x=λ1v1+⋯+λpvpx=\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_p v_p avec des scalaires inconnus.
  2. Traduis en système (une équation par coordonnée) et résous.
  3. Si le système a une solution, alors x∈vect⁡(v1,…,vp)x\in\operatorname{vect}(v_1,\dots,v_p) ; sinon, x∉vect⁡(v1,…,vp)x\notin\operatorname{vect}(v_1,\dots,v_p).

Rédaction — Montrer que vect(A) = vect(B) :

Montre les deux inclusions en travaillant seulement sur les générateurs :

  1. chaque générateur de AA appartient à vect⁡(B)\operatorname{vect}(B) ;
  2. chaque générateur de BB appartient à vect⁡(A)\operatorname{vect}(A).

Exemple :

Montrons que (2,3,−1)∈vect⁡((3,7,0),(5,0,−7))(2,3,-1)\in\operatorname{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big). On pose

(2,3,−1)=x(3,7,0)+y(5,0,−7) ⟹ {3x+5y=27x=3−7y=−1.(2,3,-1)=x(3,7,0)+y(5,0,-7)\ \Longrightarrow\ \begin{cases} 3x+5y=2\\ 7x=3\\ -7y=-1.\end{cases}

Les deux dernières lignes donnent x=37x=\tfrac{3}{7} et y=17y=\tfrac{1}{7}, qui vérifient la première. Donc

(2,3,−1)=37(3,7,0)+17(5,0,−7)∈vect⁡((3,7,0),(5,0,−7)).(2,3,-1)=\tfrac{3}{7}(3,7,0)+\tfrac{1}{7}(5,0,-7)\in\operatorname{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big).

Exercice 1 : Appartenance à un sous-espace engendré

Le vecteur (1,1,1)(1,1,1) appartient-il à vect⁡((1,0,1),(0,1,0))\operatorname{vect}\big((1,0,1),(0,1,0)\big) ?

Solution :(cliquer pour afficher)

On pose (1,1,1)=a(1,0,1)+b(0,1,0)=(a, b, a)(1,1,1)=a(1,0,1)+b(0,1,0)=(a,\ b,\ a), d'où

{a=1b=1a=1.\begin{cases} a=1\\ b=1\\ a=1.\end{cases}

Le système a pour solution a=1a=1, b=1b=1. Donc (1,1,1)=(1,0,1)+(0,1,0)(1,1,1)=(1,0,1)+(0,1,0) : oui, (1,1,1)∈vect⁡((1,0,1),(0,1,0))(1,1,1)\in\operatorname{vect}\big((1,0,1),(0,1,0)\big).