Bases

1. Montre qu'elle est libre (combinaison nulle $\Rightarrow$ coefficients nuls).
2. Montre qu'elle est génératrice (tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire de la famille).

1. Pose $x=\lambda_1 e_1+\dots+\lambda_n e_n$ avec des coefficients inconnus.
2. Traduis en système et résous.
3. La solution — unique puisque c'est une base — donne les coordonnées de $x$.

$(1,i)$ est une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ :

• libre : si $\lambda+\mu i=0$ avec $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, alors $\lambda=\mu=0$ ;
• génératrice : tout $z\in\mathbb{C}$ s'écrit $z=a+bi=a\cdot 1+b\cdot i$.

Coordonnées de $(5,3)$ dans la base $\big((1,1),(1,-1)\big)$ de $\mathbb{R}^2$. On pose

D'où $a=4$, $b=1$. Les coordonnées de $(5,3)$ sont $(4,1)$.