Les Matheux — Comprendre avant d'apprendre

Rédaction — Montrer qu'une famille engendre 𝕂ⁿ :

Raccourci efficace : il suffit de montrer que chaque vecteur de la base canonique $e_1,\dots,e_n$ est combinaison linéaire de ta famille. Comme $(e_1,\dots,e_n)$ engendre déjà $\mathbb{K}^n$ , ta famille l'engendre alors aussi.

Rédaction — Trouver une famille génératrice d'un sous-espace F :

Quand $F$ est décrit par des paramètres :

Écris le vecteur générique de $F$ en fonction des paramètres.
Sépare-le en une somme, un terme par paramètre.
Factorise chaque terme par son paramètre : les vecteurs qui restent forment une famille génératrice de $F$ .

Exemple :

Soient $u_1=(0,1,1)$ , $u_2=(1,0,1)$ , $u_3=(1,1,0)$ . Montrons qu'ils engendrent $\mathbb{R}^3$ . On calcule

e_1=\tfrac{1}{2}(u_2+u_3-u_1),\quad e_2=\tfrac{1}{2}(u_1+u_3-u_2),\quad e_3=\tfrac{1}{2}(u_1+u_2-u_3).

Chaque $e_i$ est combinaison linéaire des $u_j$ , donc $(u_1,u_2,u_3)$ engendre $\mathbb{R}^3$ .

Exemple :

Soit $F=\{(x-2y-z,\ 2x+y-z,\ y-z) \mid (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}$ . On décompose :

(x-2y-z,\ 2x+y-z,\ y-z)=x(1,2,0)+y(-2,1,1)-z(1,1,1).

Donc $F=\operatorname{vect}\{(1,2,0),(-2,1,1),(1,1,1)\}$ : cette famille engendre $F$ .

Familles génératrices

L'essentiel

Méthode