MPSI · Espaces vectoriels

Familles libres

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Question

Comment décider si une famille de vecteurs est libre (aucun vecteur superflu) ou liée ?

L'essentiel

Définition 1 : Famille libre, famille liée

Une famille (v1,…,vn)(v_1,\dots,v_n) est libre si la seule façon d'obtenir 0E0_E comme combinaison linéaire est de prendre tous les coefficients nuls :

λ1v1+⋯+λnvn=0E  ⟹  λ1=⋯=λn=0.\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_n v_n=0_E \implies \lambda_1=\dots=\lambda_n=0.

Sinon, elle est liée (il existe une relation à coefficients non tous nuls).

Méthode

Rédaction — Tester si une famille est libre ou liée :

  1. Pose la combinaison nulle λ1v1+⋯+λnvn=0E\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_n v_n=0_E.
  2. Traduis-la en système (une équation par coordonnée).
  3. Résous : si la seule solution est λ1=⋯=λn=0\lambda_1=\dots=\lambda_n=0, la famille est libre ; s'il existe une solution non nulle, elle est liée.

Raccourcis à connaître :

  • une famille contenant le vecteur nul est liée ;
  • deux vecteurs forment une famille libre si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires ;
  • une famille de polynômes non nuls de degrés tous différents (échelonnée en degré) est libre.

Exemple :

La famille ((1,2),(3,1))\big((1,2),(3,1)\big) de R2\mathbb{R}^2. On pose λ(1,2)+μ(3,1)=(0,0)\lambda(1,2)+\mu(3,1)=(0,0) :

{λ+3μ=02λ+μ=0.\begin{cases} \lambda+3\mu=0\\ 2\lambda+\mu=0.\end{cases}

La résolution donne λ=μ=0\lambda=\mu=0. La famille est libre.

Exemple :

La famille ((1,−2,3),(−2,4,−6))\big((1,-2,3),(-2,4,-6)\big). On remarque que (−2,4,−6)=−2 (1,−2,3)(-2,4,-6)=-2\,(1,-2,3) : les deux vecteurs sont colinéaires, donc la famille est liée.

Exemple :

La famille (1, X−1, X2+X)(1,\ X-1,\ X^2+X) est faite de polynômes non nuls de degrés 00, 11, 22 : ils sont tous différents, donc la famille est libre.

Exercice 1 : Libre ou liée ?

La famille ((1,2,0),(0,1,1),(1,0,−1))\big((1,2,0),(0,1,1),(1,0,-1)\big) de R3\mathbb{R}^3 est-elle libre ?

Solution :(cliquer pour afficher)

On pose λ(1,2,0)+μ(0,1,1)+ν(1,0,−1)=(0,0,0)\lambda(1,2,0)+\mu(0,1,1)+\nu(1,0,-1)=(0,0,0), soit

{λ+ν=02λ+μ=0μ−ν=0.\begin{cases} \lambda+\nu=0\\ 2\lambda+\mu=0\\ \mu-\nu=0.\end{cases}

La première donne ν=−λ\nu=-\lambda, la troisième μ=ν=−λ\mu=\nu=-\lambda, et la deuxième 2λ+μ=2λ−λ=λ=02\lambda+\mu=2\lambda-\lambda=\lambda=0. Donc λ=μ=ν=0\lambda=\mu=\nu=0 : la famille est libre.