MPSI · Espaces vectoriels

Sous-espaces vectoriels

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Question

Comment décider si une partie FF d'un espace EE est elle-même un espace vectoriel, sans revérifier tous les axiomes un par un ?

L'essentiel

Définition 1 : Sous-espace vectoriel

Une partie FF de EE est un sous-espace vectoriel de EE si :

  • FF n'est pas vide ;
  • pour tous λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb{K} et x,y∈Fx,y\in F, on a λx+μy∈F\lambda x+\mu y\in F.

En pratique, on utilise la version la plus rapide : FF est un sous-espace vectoriel de EE si et seulement si 0E∈F0_E\in F et x+λy∈Fx+\lambda y\in F pour tous λ∈K\lambda\in\mathbb{K}, x,y∈Fx,y\in F.

Méthode

Rédaction — Montrer qu'une partie F est un sous-espace vectoriel :

  1. Vérifie que 0E∈F0_E\in F. Si 0E∉F0_E\notin F, arrête-toi : FF n'est pas un sous-espace vectoriel.
  2. Prends deux éléments quelconques x,y∈Fx,y\in F et un scalaire λ∈K\lambda\in\mathbb{K}.
  3. Montre, par le calcul, que x+λy∈Fx+\lambda y\in F (c'est-à-dire qu'il vérifie la condition qui définit FF).

Exemple :

Soit F={(x,y,z)∈R3∣x−2y+z=0}F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+z=0\}.

  1. 0−2×0+0=00-2\times0+0=0, donc (0,0,0)∈F(0,0,0)\in F.
  2. Soient (x,y,z),(a,b,c)∈F(x,y,z),(a,b,c)\in F et λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
  3. On a (x+λa)−2(y+λb)+(z+λc)=(x−2y+z)+λ(a−2b+c)=0+0=0(x+\lambda a)-2(y+\lambda b)+(z+\lambda c)=(x-2y+z)+\lambda(a-2b+c)=0+0=0.

Donc (x,y,z)+λ(a,b,c)∈F(x,y,z)+\lambda(a,b,c)\in F : FF est un sous-espace vectoriel de R3\mathbb{R}^3.

Exemple :

Soit F={(x,y)∈R2∣x+y=1}F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1\}. Ici 0+0=0≠10+0=0\neq 1, donc (0,0)∉F(0,0)\notin F. Ce n'est pas un sous-espace vectoriel (inutile d'aller plus loin).

Une fois que tu sais reconnaître les sous-espaces, voici deux positions relatives importantes.

Définition 2 : Somme, somme directe, supplémentaires

Soient F,GF,G deux sous-espaces vectoriels de EE.

  • Leur somme est F+G={x+y∣x∈F, y∈G}F+G=\{x+y \mid x\in F,\ y\in G\}.
  • FF et GG sont en somme directe si F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\} ; on note alors la somme F⊕GF\oplus G.
  • FF et GG sont supplémentaires dans EE si F⊕G=EF\oplus G=E, c'est-à-dire F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\} et F+G=EF+G=E.

Rédaction — Montrer que F et G sont supplémentaires dans E :

  1. Somme directe : montre que F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\} (prends x∈F∩Gx\in F\cap G, prouve x=0Ex=0_E).
  2. Somme totale : montre que tout x∈Ex\in E s'écrit x=a+bx=a+b avec a∈Fa\in F et b∈Gb\in G.

Exercice 1 : Un sous-espace vectoriel de ℝ³

Montre que F={(x,y,z)∈R3∣x=y}F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y\} est un sous-espace vectoriel de R3\mathbb{R}^3.

Solution :(cliquer pour afficher)
  1. On a 0=00=0, donc (0,0,0)∈F(0,0,0)\in F.
  2. Soient (x,x,z),(a,a,c)∈F(x,x,z),(a,a,c)\in F et λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
  3. On a (x,x,z)+λ(a,a,c)=(x+λa, x+λa, z+λc)(x,x,z)+\lambda(a,a,c)=(x+\lambda a,\ x+\lambda a,\ z+\lambda c) : les deux premières coordonnées sont égales, donc ce vecteur est dans FF.

D'où FF est un sous-espace vectoriel de R3\mathbb{R}^3.