Sous-espace engendré par une partie

Remarquons d'abord que $\mathcal{A}\neq\varnothing$, car $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$, donc $E\in\mathcal{A}$.

• $\bigcap_{F\in\mathcal{A}}F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ comme intersection de sous-espaces vectoriels, et il contient $A$ puisque $A\subset F$ pour tout $F\in\mathcal{A}$.
• Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$. Alors $G\in\mathcal{A}$, donc $\bigcap_{F\in\mathcal{A}}F\subset G$.

D'où $\bigcap_{F\in\mathcal{A}}F$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$.

$\operatorname{vect}(B)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $A\subset B\subset\operatorname{vect}(B)$, donc $\operatorname{vect}(B)$ est un sous-espace vectoriel contenant $A$. Par minimalité de $\operatorname{vect}(A)$, on a $\operatorname{vect}(A)\subset\operatorname{vect}(B)$.

$A+B$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$ et $B$, c'est-à-dire contenant $A\cup B$. Or $\operatorname{vect}(A\cup B)$ est aussi le plus petit sous-espace vectoriel contenant $A\cup B$. Par unicité du plus petit, $\operatorname{vect}(A\cup B)=A+B$.

On pose $H=\left\{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i a_i \mid n\in\mathbb{N}^{*},\ (\lambda_i)\in\mathbb{K}^n,\ (a_i)\in A^n\right\}$ (l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de $A$).

• Comme $A\neq\varnothing$, fixons $a\in A$ ; alors $0_E=0\cdot a\in H$.
• Soient $x,y\in H$ et $\lambda\in\mathbb{K}$. Ce sont des combinaisons linéaires d'éléments de $A$, donc $x+\lambda y$ en est encore une, d'où $x+\lambda y\in H$. Ainsi $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
• Pour tout $a\in A$, on a $a=1\cdot a\in H$, donc $A\subset H$.
• Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$. Soit $x\in H$ ; il existe $n\in\mathbb{N}^{*}$, $(\lambda_i)\in\mathbb{K}^n$ et $(a_i)\in A^n$ tels que $x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i a_i$. Pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $a_i\in A\subset G$, donc par stabilité $x\in G$. Ainsi $H\subset G$.

Donc $H$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$. D'où $\operatorname{vect}(A)=H$.

Notons $A=\{a_i \mid i\in I\}$, de sorte que $\operatorname{vect}\big((a_i)_{i\in I}\big)=\operatorname{vect}(A)$, et posons

• $H\subset\operatorname{vect}(A)$. Soit $x=\sum_{i\in I}\lambda_i a_i$ avec $(\lambda_i)\in\mathbb{K}^{(I)}$. En notant $S$ le support (fini) de $(\lambda_i)$, on a $x=\sum_{i\in S}\lambda_i a_i$ : c'est une combinaison linéaire finie d'éléments de $A$, donc $x\in\operatorname{vect}(A)$.
• $\operatorname{vect}(A)\subset H$. Soit $x\in\operatorname{vect}(A)$. D'après la description explicite de $\operatorname{vect}(A)$, il existe $n\in\mathbb{N}^{*}$, $(\mu_k)_{1\leqslant k\leqslant n}\in\mathbb{K}^n$ et des indices $i_1,\dots,i_n\in I$ tels que $x=\sum_{k=1}^{n}\mu_k a_{i_k}$. Pour $i\in I$, posons $\lambda_i=\sum_{k\,:\,i_k=i}\mu_k$ (somme vide, donc nulle, si $i\notin\{i_1,\dots,i_n\}$). La famille $(\lambda_i)_{i\in I}$ est à support fini (contenu dans $\{i_1,\dots,i_n\}$) et vérifie $x=\sum_{i\in I}\lambda_i a_i$, donc $x\in H$.

D'où $\operatorname{vect}\big((a_i)_{i\in I}\big)=H$.

1. • Si $\operatorname{vect}\big((a_i)_{i\in I}\big)\subset\operatorname{vect}\big((b_j)_{j\in J}\big)$ : pour tout $i\in I$, $a_i\in\operatorname{vect}\big((a_i)_{i\in I}\big)\subset\operatorname{vect}\big((b_j)_{j\in J}\big)$.
   • Réciproquement, supposons que, pour tout $i\in I$, $a_i\in\operatorname{vect}\big((b_j)_{j\in J}\big)$. Soit $x\in\operatorname{vect}\big((a_i)_{i\in I}\big)$ ; il existe $(\lambda_i)\in\mathbb{K}^{(I)}$ tel que $x=\sum_{i\in I}\lambda_i a_i$. Par stabilité par combinaison linéaire du sous-espace $\operatorname{vect}\big((b_j)_{j\in J}\big)$, on a $x\in\operatorname{vect}\big((b_j)_{j\in J}\big)$. D'où l'inclusion.
2. On applique deux fois le point 1 :

et le point 1 traduit chacune de ces deux inclusions par la condition d'appartenance annoncée.