Application canoniquement associée, noyau et rang d'une matrice

On sait fabriquer une matrice à partir d'une application linéaire et de deux bases. Le dictionnaire est bijectif : à toute matrice correspond une unique application linéaire. Mais tant qu'on ne s'est pas fixé d'espaces ni de bases, cette application n'est pas déterminée. Existe-t-il, pour une matrice donnée, un choix canonique — c'est-à-dire un choix qui ne demande aucune décision arbitraire — d'application linéaire à lui associer ?

Si $u$ est l'application linéaire canoniquement associée à $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, alors $u(X)=AX$ pour tout $X\in\mathbb{K}^p$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$. Déterminer l'application linéaire canoniquement associée à $A$.

Soient $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. On note $u$, $v$ et $w$ les applications linéaires canoniquement associées à $A$, $B$ et $AB$ respectivement.

Montrer que $w=u\circ v$.

Une matrice est désormais une application linéaire déguisée. Or une application linéaire possède un noyau, une image, un rang — trois invariants qui disent tout de son injectivité, de sa surjectivité, de sa « taille ». Peut-on transporter ces trois notions sur la matrice elle-même, et les lire directement sur le tableau de nombres ?

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Alors $\operatorname{Ker} A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^n$.

Déterminer le noyau de la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ -1 & 4 & 2\\ 3 & -4 & -1 \end{pmatrix}$.

Le noyau se calcule en résolvant un système : c'est un travail. L'image, elle, est engendrée par les $u(E_i)$, et l'on a vu que $AE_i$ n'est rien d'autre que la $i$-ième colonne de $A$. L'image serait-elle alors lisible directement sur le tableau, sans aucun calcul ?

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.

L'image de $A$ est le sous-espace vectoriel engendré par ses vecteurs colonnes.

Le rang de $A$ est égal au rang de la famille de ses vecteurs colonnes.

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. La famille des colonnes de $A$ est une famille génératrice de $\operatorname{Im} A$.

Pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, on a $\operatorname{rg} A\leqslant\min(n,p)$.

Le théorème du rang relie, pour une application linéaire, la dimension du noyau et le rang à la dimension de l'espace de départ. Puisqu'une matrice n'est qu'une application linéaire écrite, ce théorème doit se traduire mot à mot. Reste à savoir quelle dimension joue le rôle de « l'espace de départ » : le nombre de lignes ou le nombre de colonnes ?

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Alors :

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Alors $\dim\operatorname{Ker} A+\operatorname{rg} A=n$.

On pose

1. Déterminer $\operatorname{Im} A$ et $\operatorname{rg} A$.
2. En déduire $\dim\operatorname{Ker} A$, puis déterminer $\operatorname{Ker} A$.

Le rang de $u$ ne dépend d'aucune base : c'est une donnée intrinsèque de l'application. Le rang de sa matrice, lui, semble dépendre du choix des deux bases. Ces deux nombres coïncident-ils toujours — autrement dit, le dictionnaire préserve-t-il les invariants, ou faut-il craindre qu'un changement de base modifie le rang ?

Soient $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$ des bases de $E$ et $F$ respectivement, et $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :

Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Le rang de $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}_E,\mathcal{B}_F}(u)$ ne dépend pas du choix des bases $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$.

Soit $u : \mathbb{K}_2[X]\longrightarrow\mathbb{K}^2$ définie par $u(P)=\big(P(1),\,P'(0)\big)$.

1. Justifier que $u$ est linéaire et écrire sa matrice dans les bases canoniques.
2. En déduire $\operatorname{rg} u$ et $\dim\operatorname{Ker} u$, puis déterminer $\operatorname{Ker} u$.