MPSI · Représentation matricielle

Matrice d'un vecteur et d'une famille de vecteurs

Palier 0Palier 1Palier 1+Palier 2

Sauf mention contraire, EE désigne un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension nn et FF un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension pp.

Matrice d'un vecteur

Question

En dimension finie, tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base : c'est le théorème fondamental du chapitre précédent. Mais un vecteur reste un objet abstrait — un polynôme, une suite, un nn-uplet, une matrice. Comment le remplacer par un objet purement numérique, sur lequel une machine (ou nous) pourrait calculer ? Autrement dit : où sont rangés les nombres qui décrivent complètement xx ?

Définition 1 : Matrice d'un vecteur dans une base

Soient B=(e1,…,en)\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n) une base de EE et x=∑i=1nxi ei∈Ex=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\, e_i \in E.

On appelle matrice de xx dans la base B\mathcal{B} la matrice

Mat⁡B(x)=(x1⋮xn).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(x)=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.

Remarque :

Cette définition a bien un sens : B\mathcal{B} étant une base, la décomposition de xx sur B\mathcal{B} existe et est unique. Les scalaires x1,…,xnx_1,\dots,x_n sont les coordonnées de xx dans B\mathcal{B}, et Mat⁡B(x)∈Mn,1(K)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(x)\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}).

Exemple :

Dans K2[X]\mathbb{K}_2[X] muni de sa base canonique B=(1,X,X2)\mathcal{B}=(1,X,X^2), le polynôme P=5−X+3X2P=5-X+3X^2 a pour matrice

Mat⁡B(P)=(5−13).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(P)=\begin{pmatrix} 5\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}.

On lit les coefficients de PP, à ceci près qu'il faut les ranger dans l'ordre de la base. Et si la base n'est pas la base canonique ?

Exercice 1

Soient u=(1,−1)u=(1,-1), v=(1,1)v=(1,1) et B0=(u,v)\mathcal{B}_0=(u,v). Soit x=2e1+e2x=2e_1+e_2, où (e1,e2)(e_1,e_2) désigne la base canonique de R2\mathbb{R}^2.

Déterminer Mat⁡B0(x)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}_0}(x).

Solution :(cliquer pour afficher)

On a e1=12 u+12 ve_1=\dfrac{1}{2}\,u+\dfrac{1}{2}\,v et e2=−12 u+12 ve_2=-\dfrac{1}{2}\,u+\dfrac{1}{2}\,v, ainsi

x=2(12 u+12 v)+(−12 u+12 v)=12 u+32 v.x=2\left(\frac{1}{2}\,u+\frac{1}{2}\,v\right)+\left(-\frac{1}{2}\,u+\frac{1}{2}\,v\right)=\frac{1}{2}\,u+\frac{3}{2}\,v.

Donc

Mat⁡B0(x)=(1232).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}_0}(x)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] \frac{3}{2} \end{pmatrix}.

Remarque :

Si B\mathcal{B} est la base canonique de Kn\mathbb{K}^n, alors pour tout x=∑i=1nxi ei=(x1,…,xn)x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\, e_i=(x_1,\dots,x_n), on a

Mat⁡B(x)=(x1⋮xn)∈Mn,1(K).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(x)=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}).

Dans la pratique, on identifie Kn\mathbb{K}^n et Mn,1(K)\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}), et on identifie aussi (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) et (x1⋮xn)\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.

Test 1 : Une matrice, ou plusieurs ?

Un vecteur non nul de EE a la même matrice dans toutes les bases de EE.

Test 2 : Coordonnées et combinaisons linéaires

Soit B\mathcal{B} une base de EE. Pour tous x,y∈Ex,y\in E et tout λ∈K\lambda\in\mathbb{K}, Mat⁡B(x+λy)=Mat⁡B(x)+λ Mat⁡B(y).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(x+\lambda y)=\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(x)+\lambda\,\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(y).

Exercice 2

Dans R3\mathbb{R}^3, on pose ε1=(1,1,0)\varepsilon_1=(1,1,0), ε2=(0,1,1)\varepsilon_2=(0,1,1), ε3=(1,0,1)\varepsilon_3=(1,0,1) et B′=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) (on admet que B′\mathcal{B}' est une base de R3\mathbb{R}^3).

Déterminer Mat⁡B′(x)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}'}(x) pour x=(1,2,3)x=(1,2,3).

Solution :(cliquer pour afficher)

On cherche (a,b,c)∈R3(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 tel que x=a ε1+b ε2+c ε3x=a\,\varepsilon_1+b\,\varepsilon_2+c\,\varepsilon_3, c'est-à-dire

(a+c,  a+b,  b+c)=(1,2,3)  ⟺  {a+c=1a+b=2b+c=3(a+c,\; a+b,\; b+c)=(1,2,3) \iff \begin{cases} a+c=1\\ a+b=2\\ b+c=3 \end{cases}

En sommant les trois équations : 2(a+b+c)=62(a+b+c)=6, donc a+b+c=3a+b+c=3. En retranchant successivement chacune des équations, on obtient b=3−1=2b=3-1=2, c=3−2=1c=3-2=1 et a=3−3=0a=3-3=0.

Vérification : 0⋅ε1+2 ε2+ε3=(0,2,2)+(1,0,1)=(1,2,3)0\cdot\varepsilon_1+2\,\varepsilon_2+\varepsilon_3=(0,2,2)+(1,0,1)=(1,2,3). Ainsi

Mat⁡B′(x)=(021).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}'}(x)=\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}.

Matrice d'une famille de vecteurs

Question

Une colonne code un vecteur. Mais un espace vectoriel ne se décrit jamais par un seul vecteur : on manipule des familles — génératrices, libres, des bases. Comment coder d'un seul geste toute une famille de vecteurs, sans écrire pp colonnes séparées ?

Définition 2 : Matrice d'une famille de vecteurs

Soient B\mathcal{B} une base de EE et F=(f1,…,fp)\mathcal{F}=(f_1,\dots,f_p) une famille de vecteurs de EE.

On appelle matrice de F\mathcal{F} dans la base B\mathcal{B} la matrice de taille n×pn\times p dont la jj-ième colonne est Mat⁡B(fj)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f_j). On la note Mat⁡B(F)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{F}).

Remarque :

Retenir la disposition : une colonne par vecteur de la famille, une ligne par vecteur de la base. Ainsi Mat⁡B(F)∈Mn,p(K)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), où n=dim⁡En=\dim E et p=card⁡Fp=\operatorname{card}\mathcal{F} — et non l'inverse.

Exemple :

Si B=(e1,…,en)\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n) est une base de EE, alors

Mat⁡B(B)=In,\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{B})=I_n,

puisque la jj-ième colonne est la colonne des coordonnées de eje_j dans B\mathcal{B}, c'est-à-dire la jj-ième colonne de InI_n. Une base est donc « l'identité vue d'elle-même ». Et que devient cette matrice si l'on lit B\mathcal{B} dans une autre base ?

Exercice 3

Soit B\mathcal{B} la base canonique de K2[X]\mathbb{K}_2[X]. Déterminer la matrice de la famille F=(X2+X,  2X2−X+1,  3X+2)\mathcal{F}=\left(X^2+X,\; 2X^2-X+1,\; 3X+2\right) dans la base B\mathcal{B}.

Solution :(cliquer pour afficher)

La base canonique de K2[X]\mathbb{K}_2[X] est B=(1,X,X2)\mathcal{B}=(1,X,X^2). On lit les coordonnées de chaque polynôme dans cet ordre :

X2+X  ⟶  (011),2X2−X+1  ⟶  (1−12),3X+2  ⟶  (230).X^2+X \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\qquad 2X^2-X+1 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2\end{pmatrix},\qquad 3X+2 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 0\end{pmatrix}.

En rangeant ces colonnes côte à côte :

Mat⁡B(F)=(0121−13120).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 3\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Test 3 : Taille de la matrice d'une famille

Soient EE un espace de dimension nn, B\mathcal{B} une base de EE et F\mathcal{F} une famille de pp vecteurs de EE. Alors Mat⁡B(F)∈Mp,n(K)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K}).

Exercice 4

Soit B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3) une base de EE. Déterminer l'unique famille F=(f1,f2,f3)\mathcal{F}=(f_1,f_2,f_3) de vecteurs de EE telle que

Mat⁡B(F)=(102−13001−1).\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Solution :(cliquer pour afficher)

Il suffit de lire la matrice colonne par colonne : la jj-ième colonne donne les coordonnées de fjf_j dans B\mathcal{B}.

  • Première colonne (1−10)\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} : f1=e1−e2f_1=e_1-e_2.
  • Deuxième colonne (031)\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1\end{pmatrix} : f2=3e2+e3f_2=3e_2+e_3.
  • Troisième colonne (20−1)\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -1\end{pmatrix} : f3=2e1−e3f_3=2e_1-e_3.

L'unicité vient de celle de la décomposition d'un vecteur dans la base B\mathcal{B}.