Matrices équivalentes, rang et matrices extraites

Puisque $\operatorname{rg}(u)=r$, le théorème du rang donne $\dim\operatorname{Ker} u=n-r$. Soit $(e_{r+1},\dots,e_n)$ une base de $\operatorname{Ker} u$, que l'on complète en une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_r,e_{r+1},\dots,e_n)$ de $E$. On a alors

Pour tout $i\in\llbracket 1,r\rrbracket$, on pose $f_i=u(e_i)$. Montrons que la famille $(f_1,\dots,f_r)$ est libre. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_r\in\mathbb{K}$ tels que $\displaystyle\sum_{i=1}^{r}\lambda_i f_i=0$. Alors

donc $\displaystyle\sum_{i=1}^{r}\lambda_i e_i\in\operatorname{Ker} u\cap\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_r)=\{0\}$. La famille $(e_1,\dots,e_r)$ étant libre, on en déduit $\lambda_1=\dots=\lambda_r=0$.

On complète alors $(f_1,\dots,f_r)$ en une base $\mathcal{C}=(f_1,\dots,f_p)$ de $F$. Par construction :

donc $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=J_r^{(p,n)}$.

Montrons le premier point.

• Supposons $\operatorname{rg} A=r$. Soit $u:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n$ l'application linéaire canoniquement associée à $A$, de sorte que $\operatorname{rg} u=\operatorname{rg} A=r$. D'après la proposition précédente, il existe une base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{K}^p$ et une base $\mathcal{C}$ de $\mathbb{K}^n$ telles que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=J_r^{(n,p)}$. En notant $\mathcal{B}_p$ et $\mathcal{B}_n$ les bases canoniques de $\mathbb{K}^p$ et $\mathbb{K}^n$, la formule de changement de bases donne

c'est-à-dire $A=Q\,J_r^{(n,p)}P$ avec $Q=\left(P_{\mathcal{C}\to\mathcal{B}_n}\right)^{-1}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $P=P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}_p}\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$. Donc $A$ est équivalente à $J_r^{(n,p)}$.

• Réciproquement, supposons qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telles que $A=Q\,J_r^{(n,p)}P$. La multiplication à gauche et à droite par des matrices inversibles conservant le rang, on obtient

Montrons le second point. Soient $A,B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.

• Supposons $B$ équivalente à $A$ : $B=QAP$ avec $P\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. La multiplication par des matrices inversibles conservant le rang, $\operatorname{rg} B=\operatorname{rg} A$.

• Réciproquement, supposons $\operatorname{rg} A=\operatorname{rg} B=r$. D'après le premier point, il existe $P_1,P_2\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q_1,Q_2\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telles que

De la première égalité on tire $J_r^{(n,p)}=Q_1^{-1}A\,P_1^{-1}$, d'où

avec $Q_2Q_1^{-1}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $P_1^{-1}P_2\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$. Donc $B$ est équivalente à $A$.

Posons $r=\operatorname{rg} A$. Il existe $P\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telles que $A=Q\,J_r^{(n,p)}P$. Par transposition :

avec $P^{\mathsf{T}}\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q^{\mathsf{T}}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Donc $A^{\mathsf{T}}$ est équivalente à $J_r^{(p,n)}$, d'où $\operatorname{rg}\left(A^{\mathsf{T}}\right)=r=\operatorname{rg}(A)$.

Commençons par le cas de la suppression d'une seule ligne ou d'une seule colonne.

• Si $\widetilde{A}$ est obtenue en supprimant une colonne de $A$, alors les colonnes de $\widetilde{A}$ forment une sous-famille des colonnes de $A$, donc

• Si $\widetilde{A}$ est obtenue en supprimant une ligne de $A$, alors les lignes de $\widetilde{A}$ forment une sous-famille des lignes de $A$ ; le rang d'une matrice étant égal au rang de ses lignes, on a encore $\operatorname{rg}\bigl(\widetilde{A}\bigr)\leqslant\operatorname{rg}(A)$.

Pour le cas général, on raisonne par récurrence sur $N=n+p$. Pour $N\in\mathbb{N}$, $N\geqslant 3$, on note $H_N$ la propriété : « pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ avec $n+p\leqslant N$, toute sous-matrice $\widetilde{A}$ de $A$ vérifie $\operatorname{rg}\bigl(\widetilde{A}\bigr)\leqslant\operatorname{rg}(A)$ ».

• Initialisation. Pour $N=3$, les matrices concernées sont de taille $1\times 2$ ou $2\times 1$ ; toute sous-matrice s'obtient en supprimant une seule ligne ou une seule colonne, cas déjà traité.
• Hérédité. Supposons $H_N$ vraie et soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ avec $n+p=N+1$. Soit $\widetilde{A}$ une sous-matrice de $A$. Si $\widetilde{A}$ s'obtient en supprimant une seule ligne ou une seule colonne, le résultat est acquis. Sinon, $\widetilde{A}$ est une sous-matrice d'une matrice intermédiaire $A_1$, obtenue à partir de $A$ en supprimant une seule ligne ou une seule colonne. La matrice $A_1$ vérifie alors la condition de $H_N$, donc

La propriété est ainsi établie pour toute matrice.

Posons $r=\operatorname{rg} A$.

• Montrons qu'il existe une sous-matrice carrée inversible de taille $r$. Les colonnes $C_1,\dots,C_p$ de $A$ engendrent $\operatorname{Im} A$, qui est de dimension $r$ ; d'après le théorème de la base extraite, on peut en extraire une famille libre $\left(C_{j_1},\dots,C_{j_r}\right)$. La matrice $A'$ formée de ces $r$ colonnes est de rang $r$. Le rang de $A'$ étant aussi le rang de ses lignes, on peut de même extraire de $A'$ une famille libre de $r$ lignes, ce qui fournit une sous-matrice $\widetilde{A}$ de $A$, carrée de taille $r$ et de rang $r$, donc inversible.
• Soit maintenant $B$ une sous-matrice carrée inversible de $A$, de taille $q$. D'après la proposition précédente,

Le rang de $A$ est donc bien la taille maximale des sous-matrices carrées inversibles de $A$.