Caractérisations de l'inversibilité

Étape préliminaire. Montrons que la seule matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ échelonnée réduite par lignes et de rang $n$ est $I_{n}$.

Soit $R\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ échelonnée réduite possédant $n$ pivots. Chaque ligne non nulle porte exactement un pivot, donc les $n$ lignes de $R$ sont non nulles, et deux pivots ne sont jamais dans la même colonne. Notons $j_{1}<j_{2}<\cdots<j_{n}$ les colonnes des pivots : c'est une suite strictement croissante de $n$ entiers de $\llbracket 1,n\rrbracket$, donc $j_{i}=i$ pour tout $i$. Les pivots occupent ainsi les positions $(1,1),\dots,(n,n)$, valent $1$, et sont les seuls coefficients non nuls de leur colonne. Toutes les colonnes portant un pivot, tous les coefficients hors diagonale sont nuls : $R=I_{n}$.

On établit maintenant le cycle $(1)\Rightarrow(3)\Rightarrow(6)\Rightarrow(5)\Rightarrow(4)\Rightarrow(1)$, puis on traite le point 2 à part.

$(1)\Rightarrow(3)$. Si $A$ est inversible, la matrice $B=A^{-1}$ vérifie $BA=I_{n}$.

$(3)\Rightarrow(6)$. Soit $B$ telle que $BA=I_{n}$, et soit $X$ tel que $AX=0$. En multipliant à gauche par $B$ :

$(6)\Rightarrow(5)$. On raisonne par contraposée : supposons $r=\mathrm{rg}(A)<n$ et construisons $X\neq 0$ tel que $AX=0$.

D'après le théorème de Gauss-Jordan, il existe $E$, produit de matrices d'opérations élémentaires, telle que $R=EA$ soit échelonnée réduite ; elle possède $r$ pivots, situés dans les colonnes $j_{1}<\cdots<j_{r}$. Comme $r<n$, il existe une colonne $c\in\llbracket 1,n\rrbracket$ qui ne porte pas de pivot. On définit $X$ par

Calculons $RX$. Les lignes de $R$ d'indice $>r$ sont nulles, donc les coefficients correspondants de $RX$ le sont. Pour $i\leqslant r$, la $i^{\text{ème}}$ ligne de $R$ a un $1$ en colonne $j_{i}$ et des zéros dans toutes les autres colonnes de pivot ; il reste

puisque $x_{j}=0$ pour toute colonne sans pivot autre que $c$. Donc $RX=0$.

Or $E$ est un produit de matrices d'opérations élémentaires, toutes inversibles : $E$ est inversible. De $EAX=RX=0$ on tire $AX=E^{-1}\cdot 0=0$, avec $X\neq 0$ puisque $x_{c}=1$. L'assertion 6 est donc en défaut.

$(5)\Rightarrow(4)$. Si $\mathrm{rg}(A)=n$, la forme échelonnée réduite $R$ de $A$ possède $n$ pivots, donc $R=I_{n}$ d'après l'étape préliminaire. Comme $A\sim_{L}R$, on a $A\sim_{L}I_{n}$.

$(4)\Rightarrow(1)$. Si $A\sim_{L}I_{n}$, il existe $E$, produit de matrices d'opérations élémentaires, telle que $EA=I_{n}$. La matrice $E$ est inversible, donc $A=E^{-1}I_{n}=E^{-1}$. Or l'inverse d'une matrice inversible est inversible, d'inverse $E$ : la matrice $A$ est inversible, et $A^{-1}=E$.

Le point 2. L'implication $(1)\Rightarrow(2)$ est immédiate avec $B=A^{-1}$. Réciproquement, soit $B$ telle que $AB=I_{n}$. Alors $B$ vérifie l'assertion 6 : si $BX=0$, alors

D'après le cycle déjà établi, appliqué cette fois à $B$, la matrice $B$ est inversible. On a alors

et $A$, inverse d'une matrice inversible, est inversible.

2. On note $C_{1},\dots,C_{n}$ les colonnes de $A$. On suppose qu'il existe $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ tel que $C_{k}$ soit une combinaison linéaire de $C_{1},\dots,C_{k-1},C_{k+1},\dots,C_{n}$ : il existe alors $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k-1},\alpha_{k+1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{K}$ tels que

On pose

On a alors, d'après l'expression de $AX$ comme combinaison linéaire des colonnes de $A$,

Or $X\neq 0$, donc $A$ n'est pas inversible.

1. Supposons qu'une ligne de $A$ soit combinaison linéaire des autres. Les lignes de $A$ étant les colonnes de $A^{\mathsf{T}}$, une colonne de $A^{\mathsf{T}}$ est combinaison linéaire des autres colonnes de $A^{\mathsf{T}}$ : d'après le point 2, la matrice $A^{\mathsf{T}}$ n'est pas inversible. Or $A$ est inversible si et seulement si $A^{\mathsf{T}}$ l'est. Donc $A$ n'est pas inversible.

Si $C_{k}$ est nulle, alors

donc $C_{k}$ est combinaison linéaire des autres colonnes, et le point 2 de la proposition s'applique. Le cas d'une ligne nulle se traite de même avec le point 1.

D'où $A$ n'est pas inversible.