MPSI · Calcul matriciel et systèmes linéaires

Opérations élémentaires et matrices associées

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Opérations élémentaires sur les lignes

Question

Pour résoudre un système linéaire, on échange deux équations, on en multiplie une par un nombre non nul, on ajoute à l'une un multiple d'une autre — et l'ensemble des solutions ne change pas. Sur la matrice des coefficients, ces gestes deviennent des manipulations de lignes. Lesquelles exactement, et sont-elles réversibles ?

Définition 1 : Opérations élémentaires sur les lignes

Soit A∈Mn,p(K)A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). On appelle opération élémentaire sur les lignes l'une des opérations suivantes :

  1. permutation : Li⟷LjL_{i}\longleftrightarrow L_{j} ;
  2. multiplication par un scalaire : Li←αLiL_{i}\leftarrow \alpha L_{i}, avec α∈K∗\alpha\in\mathbb{K}^{*} ;
  3. ajout d'une autre ligne multipliée par un scalaire : Li←Li+αLjL_{i}\leftarrow L_{i}+\alpha L_{j}, avec α∈K∗\alpha\in\mathbb{K}^{*} et i≠ji\neq j.

Notation :

Lorsqu'une matrice BB est obtenue à partir d'une matrice AA par une opération élémentaire, on écrit cette opération sous le symbole ∼\sim :

(0123)∼L1↔L2(2301).\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix} \underset{L_{1}\leftrightarrow L_{2}}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Exemple :

Sur la matrice A=(120314)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 4\end{pmatrix}, l'opération L2←L2−3L1L_{2}\leftarrow L_{2}-3L_{1} donne

A∼L2←L2−3L1(1200−54):A\underset{L_{2}\leftarrow L_{2}-3L_{1}}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & -5 & 4\end{pmatrix} :

la première ligne n'a pas bougé, la seconde a perdu son premier coefficient. C'est le geste de base du pivot. Comment enchaîner de telles opérations pour faire apparaître le plus de zéros possible ?

Test 1 : Le scalaire nul

L'opération Li←αLiL_{i}\leftarrow \alpha L_{i} est une opération élémentaire pour tout α∈K\alpha\in\mathbb{K}.

Exercice 1 : Une suite d'opérations sur les lignes

Soit A=(0−12223111)A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}. Effectuer successivement les opérations

L1↔L3,L2←L2−2L1,L2↔L3,L2←−L2.L_{1}\leftrightarrow L_{3},\qquad L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1},\qquad L_{2}\leftrightarrow L_{3},\qquad L_{2}\leftarrow -L_{2}.
Solution :(cliquer pour afficher)

On a

A∼L1↔L3(1112230−12)∼L2←L2−2L1(1110010−12)A \underset{L_{1}\leftrightarrow L_{3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix} \underset{L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}∼L2↔L3(1110−12001)∼L2←−L2(11101−2001).\underset{L_{2}\leftrightarrow L_{3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \underset{L_{2}\leftarrow -L_{2}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Le détail de la deuxième étape : la nouvelle ligne L2L_{2} vaut (223)−2(111)=(001)\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

La matrice obtenue est triangulaire supérieure, à coefficients diagonaux tous égaux à 11.

Opérations élémentaires sur les colonnes

Question

Les lignes d'une matrice sont les équations d'un système ; les colonnes en sont les inconnues. Les trois mêmes gestes ont-ils un sens sur les colonnes, et se traduisent-ils de la même façon ?

Définition 2 : Opérations élémentaires sur les colonnes

Soit A∈Mn,p(K)A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). On appelle opération élémentaire sur les colonnes l'une des opérations suivantes :

  1. permutation : Ci⟷CjC_{i}\longleftrightarrow C_{j} ;
  2. multiplication par un scalaire : Ci←αCiC_{i}\leftarrow \alpha C_{i}, avec α∈K∗\alpha\in\mathbb{K}^{*} ;
  3. ajout d'une autre colonne multipliée par un scalaire : Ci←Ci+αCjC_{i}\leftarrow C_{i}+\alpha C_{j}, avec α≠0\alpha\neq 0 et i≠ji\neq j.

Exercice 2 : Une suite d'opérations sur les colonnes

Soit B=(11101−2001)B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. Effectuer successivement les opérations

C2←C2−C1,C3←C3−C1,C3←C3+2C2.C_{2}\leftarrow C_{2}-C_{1},\qquad C_{3}\leftarrow C_{3}-C_{1},\qquad C_{3}\leftarrow C_{3}+2C_{2}.
Solution :(cliquer pour afficher)

On a

B∼C2←C2−C1(10101−2001)∼C3←C3−C1(10001−2001)∼C3←C3+2C2(100010001).B \underset{C_{2}\leftarrow C_{2}-C_{1}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \underset{C_{3}\leftarrow C_{3}-C_{1}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \underset{C_{3}\leftarrow C_{3}+2C_{2}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

En combinant avec l'exercice précédent : en n'agissant que sur les lignes de AA, on est arrivé à BB ; puis, en n'agissant que sur les colonnes de BB, on est arrivé à I3I_{3}.

Matrices de dilatation, de permutation et de transvection

Question

Toute opération élémentaire transforme AA en une nouvelle matrice. Le produit matriciel, lui aussi, transforme AA en une nouvelle matrice. Ces deux mécanismes n'en font-ils qu'un : existe-t-il, pour chaque opération élémentaire, une matrice MM telle que « effectuer l'opération sur AA », ce soit exactement « calculer MAMA » ?

Définition 3 : Matrices de dilatation, de permutation et de transvection

  1. On appelle matrice de dilatation toute matrice de la forme
Di(λ)=In+(λ−1)Ei,i=(10⋯⋯001⋮⋮λ⋮⋮100⋯⋯01)← ieˋme ligneD_{i}(\lambda)=I_{n}+(\lambda-1)E_{i,i} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & 1 & & & \vdots\\ \vdots & & \lambda & & \vdots\\ \vdots & & & 1 & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \\ \\ \leftarrow\ i^{\text{ème}}\ \text{ligne}\\ \\ \\ \end{array}

où λ\lambda occupe la position (i,i)(i,i).

  1. On appelle matrice de permutation toute matrice de la forme
Pi,j=In−Ei,i−Ej,j+Ei,j+Ej,i=(1⋯⋯⋯0⋮0⋯1⋮⋮⋮⋮⋮⋮1⋯0⋮0⋯⋯⋯1)(avec i≠j),P_{i,j}=I_{n}-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i} =\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ \vdots & 0 & \cdots & 1 & \vdots\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ \vdots & 1 & \cdots & 0 & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad (\text{avec } i\neq j),

où les colonnes ii et jj de InI_{n} sont échangées.

  1. On appelle matrice de transvection toute matrice de la forme
Ti,j(λ)=In+λEi,j=(10⋯1⋯λ⋯⋱101)← ieˋme ligneT_{i,j}(\lambda)=I_{n}+\lambda E_{i,j} =\begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & \lambda & \cdots\\ & & & \ddots & & \\ & & & & 1 & \\ & & 0 & & & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \\ \leftarrow\ i^{\text{ème}}\ \text{ligne}\\ \\ \\ \\ \end{array}

où λ\lambda occupe la position (i,j)(i,j).

Exemple :

Dans M3(K)\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K}) :

D2(5)=(100050001),P1,3=(001010100),T1,3(4)=(104010001).D_{2}(5)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad P_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad T_{1,3}(4)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Chacune de ces trois matrices s'obtient à partir de I3I_{3} par une seule opération élémentaire sur les lignes. Laquelle, dans chaque cas — et est-ce un hasard ?

Exemple :

Soient A=(0−12223111)A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} et P1,3=(001010100)P_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}. On a alors

P1,3A⏟les lignes=(001010100)(0−12223111)=(1112230−12)\underbrace{P_{1,3}A}_{\text{les lignes}} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}

et

AP1,3⏟les colonnes=(0−12223111)(001010100)=(2−10322111).\underbrace{AP_{1,3}}_{\text{les colonnes}} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 3 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.

Test 2 : À gauche les lignes, à droite les colonnes

Sur l'exemple précédent, P1,3AP_{1,3}A échange les lignes 11 et 33 de AA, tandis que AP1,3AP_{1,3} échange ses colonnes 11 et 33.

Action des matrices élémentaires

Question

Les trois matrices Di(λ)D_{i}(\lambda), Pi,jP_{i,j}, Ti,j(λ)T_{i,j}(\lambda) sont toutes construites à partir de InI_{n} et de matrices élémentaires Ek,ℓE_{k,\ell}. Pour comprendre leur action par produit, il suffit donc de comprendre celle d'une seule Ek,ℓE_{k,\ell} : que fait Ei,jE_{i,j} quand on la multiplie par une matrice quelconque ?

Lemme 1 : Action des matrices élémentaires

  1. Toute matrice A=(ai,j)A=\bigl(a_{i,j}\bigr) est combinaison linéaire de matrices élémentaires :
A=∑i,jai,jEi,j.A=\sum_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}.

  1. La matrice Ei,jAE_{i,j}A est la matrice dont la ieˋmei^{\text{ème}} ligne est la jeˋmej^{\text{ème}} ligne de AA et dont les autres lignes sont nulles.

  2. La matrice AEi,jAE_{i,j} est la matrice dont la jeˋmej^{\text{ème}} colonne est la ieˋmei^{\text{ème}} colonne de AA et dont les autres colonnes sont nulles.

Démonstration :

  1. Les deux membres sont des matrices de même taille. Soit (k,ℓ)(k,\ell) un couple d'indices. En utilisant la formule [Ei,j]k,ℓ=δi,k δj,ℓ\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell}=\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell},
[∑i,jai,jEi,j]k,ℓ=∑i,jai,j[Ei,j]k,ℓ=∑i,jai,j δi,k δj,ℓ=ak,ℓ=[A]k,ℓ,\Bigl[\sum_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}\Bigr]_{k,\ell} =\sum_{i,j}a_{i,j}\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell} =\sum_{i,j}a_{i,j}\,\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell} =a_{k,\ell}=[A]_{k,\ell},

car dans cette double somme, tous les termes sont nuls sauf celui d'indices (i,j)=(k,ℓ)(i,j)=(k,\ell). D'où A=∑i,jai,jEi,jA=\sum_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}.

  1. On a
Ei,jA=Ei,j∑k,ℓak,ℓEk,ℓ=∑k,ℓak,ℓ Ei,jEk,ℓ=∑k,ℓak,ℓ δk,jEi,ℓ,E_{i,j}A=E_{i,j}\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}E_{k,\ell} =\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}\,E_{i,j}E_{k,\ell} =\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}\,\delta_{k,j}E_{i,\ell},

donc

Ei,jA=∑ℓaj,ℓEi,ℓ=((0)aj,1⋯⋯⋯aj,p(0))← ieˋme ligneE_{i,j}A=\sum_{\ell}a_{j,\ell}E_{i,\ell} =\begin{pmatrix} & & (0) & & \\ a_{j,1} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{j,p}\\ & & (0) & & \end{pmatrix} \begin{array}{l} \\ \leftarrow\ i^{\text{ème}}\ \text{ligne}\\ \\ \end{array}

Donc la ieˋmei^{\text{ème}} ligne de Ei,jAE_{i,j}A est la jeˋmej^{\text{ème}} ligne de AA, et les autres lignes sont nulles.

  1. De la même façon,
AEi,j=(∑k,ℓak,ℓEk,ℓ)Ei,j=∑k,ℓak,ℓ Ek,ℓEi,j=∑k,ℓak,ℓ δi,ℓEk,j=∑kak,iEk,j.AE_{i,j}=\Bigl(\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}E_{k,\ell}\Bigr)E_{i,j} =\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}\,E_{k,\ell}E_{i,j} =\sum_{k,\ell}a_{k,\ell}\,\delta_{i,\ell}E_{k,j} =\sum_{k}a_{k,i}E_{k,j}.

Cette matrice n'a de coefficients non nuls que dans sa jeˋmej^{\text{ème}} colonne, où figure, à la keˋmek^{\text{ème}} ligne, le coefficient ak,ia_{k,i} : la jeˋmej^{\text{ème}} colonne de AEi,jAE_{i,j} est donc la ieˋmei^{\text{ème}} colonne de AA, et les autres colonnes sont nulles.

Remarque :

La matrice Ei,iAE_{i,i}A est la matrice dont la ieˋmei^{\text{ème}} ligne est celle de AA et dont les autres lignes sont nulles.

Test 3 : Deux indices, deux rôles

La matrice Ei,jAE_{i,j}A est la matrice dont la jeˋmej^{\text{ème}} ligne est la ieˋmei^{\text{ème}} ligne de AA et dont les autres lignes sont nulles.

Exercice 3 : Extraire une ligne, extraire une colonne

Soit A=(123456789)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} et soient Ei,jE_{i,j} les matrices élémentaires de M3(K)\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K}).

  1. Calculer E1,3AE_{1,3}A et AE1,3AE_{1,3} en utilisant le lemme, puis vérifier par le calcul du produit.
  2. Déterminer une matrice M∈M3(K)M\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K}) telle que MAMA soit la matrice dont les trois lignes sont toutes égales à la deuxième ligne de AA.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. D'après le point 2 du lemme, E1,3AE_{1,3}A est la matrice dont la première ligne est la troisième ligne de AA, les autres étant nulles :
E1,3A=(789000000).E_{1,3}A=\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

D'après le point 3, AE1,3AE_{1,3} est la matrice dont la troisième colonne est la première colonne de AA, les autres étant nulles :

AE1,3=(001004007).AE_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}.

Vérification pour le premier produit : la première ligne de E1,3E_{1,3} étant (001)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, le produit par AA donne bien (789)\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9\end{pmatrix} ; les deux autres lignes de E1,3E_{1,3} étant nulles, celles du produit le sont aussi.

  1. La matrice Ei,2AE_{i,2}A a pour ieˋmei^{\text{ème}} ligne la deuxième ligne de AA, les autres étant nulles. En sommant sur ii,
M=E1,2+E2,2+E3,2=(010010010)M=E_{1,2}+E_{2,2}+E_{3,2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

convient. On vérifie :

MA=(010010010)(123456789)=(456456456).MA=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}.

Traduction matricielle des opérations élémentaires

Question

On a maintenant tout pour répondre à la question posée plus haut : chacune des trois matrices Pi,jP_{i,j}, Di(λ)D_{i}(\lambda), Ti,j(λ)T_{i,j}(\lambda) s'écrit à l'aide de InI_{n} et de matrices élémentaires, dont on connaît l'action. Quelle opération réalise chacun des produits, à gauche puis à droite ?

Proposition 1 : Traduction matricielle des opérations élémentaires

  1. Le produit Pi,jAP_{i,j}A correspond à l'opération Li⟷LjL_{i}\longleftrightarrow L_{j}.
  2. Le produit Di(λ)AD_{i}(\lambda)A correspond à l'opération Li←λLiL_{i}\leftarrow \lambda L_{i}.
  3. Le produit Ti,j(λ)AT_{i,j}(\lambda)A correspond à l'opération Li←Li+λLjL_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{j}.
  4. Le produit APi,jAP_{i,j} correspond à l'opération Ci⟷CjC_{i}\longleftrightarrow C_{j}.
  5. Le produit ADi(λ)AD_{i}(\lambda) correspond à l'opération Ci←λCiC_{i}\leftarrow \lambda C_{i}.
  6. Le produit ATi,j(λ)AT_{i,j}(\lambda) correspond à l'opération Cj←Cj+λCiC_{j}\leftarrow C_{j}+\lambda C_{i}.

Démonstration :

On note L1,…,LnL_{1},\dots,L_{n} les lignes de AA et C1,…,CpC_{1},\dots,C_{p} ses colonnes. Toutes les vérifications reposent sur le lemme et sur la distributivité du produit sur la somme.

  1. On a
Di(λ)A=(In+(λ−1)Ei,i)A=A+(λ−1)Ei,iA.D_{i}(\lambda)A=\bigl(I_{n}+(\lambda-1)E_{i,i}\bigr)A=A+(\lambda-1)E_{i,i}A.

D'après la remarque, Ei,iAE_{i,i}A n'a qu'une ligne non nulle, la ieˋmei^{\text{ème}}, égale à LiL_{i}. La somme laisse donc inchangée toute ligne LkL_{k} avec k≠ik\neq i, et remplace LiL_{i} par Li+(λ−1)Li=λLiL_{i}+(\lambda-1)L_{i}=\lambda L_{i}.

  1. On a Ti,j(λ)A=A+λEi,jAT_{i,j}(\lambda)A=A+\lambda E_{i,j}A. La matrice Ei,jAE_{i,j}A n'a qu'une ligne non nulle, la ieˋmei^{\text{ème}}, égale à LjL_{j}. La somme laisse donc inchangée toute ligne LkL_{k} avec k≠ik\neq i, et remplace LiL_{i} par Li+λLjL_{i}+\lambda L_{j}.

  2. On a

Pi,jA=A−Ei,iA−Ej,jA+Ei,jA+Ej,iA.P_{i,j}A=A-E_{i,i}A-E_{j,j}A+E_{i,j}A+E_{j,i}A.

Les quatre matrices soustraites ou ajoutées n'ont de lignes non nulles qu'en position ii ou jj : toute ligne LkL_{k} avec k∉{i,j}k\notin\{i,j\} est donc inchangée. En position ii, on obtient Li−Li+Lj=LjL_{i}-L_{i}+L_{j}=L_{j} ; en position jj, on obtient Lj−Lj+Li=LiL_{j}-L_{j}+L_{i}=L_{i}. Les lignes ii et jj ont bien été échangées.

Les points 4, 5 et 6 se traitent de la même façon avec le point 3 du lemme, en se souvenant que AEi,jAE_{i,j} n'a qu'une colonne non nulle, la jeˋmej^{\text{ème}}, égale à CiC_{i}.

  1. ADi(λ)=A+(λ−1)AEi,iAD_{i}(\lambda)=A+(\lambda-1)AE_{i,i} : la colonne CiC_{i} est remplacée par Ci+(λ−1)Ci=λCiC_{i}+(\lambda-1)C_{i}=\lambda C_{i}, les autres sont inchangées.

  2. ATi,j(λ)=A+λAEi,jAT_{i,j}(\lambda)=A+\lambda AE_{i,j} : la seule colonne modifiée est la jeˋmej^{\text{ème}}, remplacée par Cj+λCiC_{j}+\lambda C_{i}.

  3. APi,j=A−AEi,i−AEj,j+AEi,j+AEj,iAP_{i,j}=A-AE_{i,i}-AE_{j,j}+AE_{i,j}+AE_{j,i} : la colonne ii devient Ci−Ci+Cj=CjC_{i}-C_{i}+C_{j}=C_{j} (le terme AEj,iAE_{j,i} dépose CjC_{j} en colonne ii), la colonne jj devient Cj−Cj+Ci=CiC_{j}-C_{j}+C_{i}=C_{i}, et les autres sont inchangées.

Test 4 : La transvection à droite

Le produit ATi,j(λ)AT_{i,j}(\lambda) correspond à l'opération Ci←Ci+λCjC_{i}\leftarrow C_{i}+\lambda C_{j}.

Remarque :

En appliquant la proposition à A=InA=I_{n}, on obtient que chacune des matrices Pi,jP_{i,j}, Di(λ)D_{i}(\lambda), Ti,j(λ)T_{i,j}(\lambda) s'obtient en effectuant sur InI_{n} l'opération élémentaire qu'elle réalise. C'est la façon la plus sûre de retrouver ces matrices sans les apprendre par cœur.

Rédaction — Écrire matriciellement une suite d'opérations :

Pour traduire par un produit une suite d'opérations élémentaires sur les lignes :

  1. Écrire la matrice de chaque opération en effectuant cette opération sur InI_{n}. Une permutation Li↔LjL_{i}\leftrightarrow L_{j} donne Pi,jP_{i,j}, une dilatation Li←λLiL_{i}\leftarrow \lambda L_{i} donne Di(λ)D_{i}(\lambda), une transvection Li←Li+λLjL_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{j} donne Ti,j(λ)T_{i,j}(\lambda).
  2. Multiplier à gauche, dans l'ordre inverse. Si l'on effectue O1O_{1}, puis O2O_{2}, …, puis OrO_{r}, de matrices respectives M1,…,MrM_{1},\dots,M_{r}, la matrice finale est
Mr⋯M2M1A.M_{r}\cdots M_{2}M_{1}A.

La dernière opération effectuée est celle dont la matrice est la plus à gauche.

  1. Pour des opérations sur les colonnes, la règle est la même en multipliant à droite, et cette fois dans l'ordre naturel : A M1M2⋯MrA\,M_{1}M_{2}\cdots M_{r}.

Exercice 4 : Une suite d'opérations sous forme de produit

On reprend A=(0−12223111)A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} et la suite d'opérations

L1↔L3,L2←L2−2L1,L2↔L3,L2←−L2,L_{1}\leftrightarrow L_{3},\qquad L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1},\qquad L_{2}\leftrightarrow L_{3},\qquad L_{2}\leftarrow -L_{2},

qui conduit à R=(11101−2001)R=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

  1. Écrire la matrice de chacune de ces quatre opérations.
  2. Écrire RR sous la forme EAEA, où EE est un produit de ces quatre matrices, en précisant l'ordre.
  3. Calculer EE et vérifier que EA=REA=R.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. Chaque matrice s'obtient en effectuant l'opération sur I3I_{3} :
P1,3=(001010100),T2,1(−2)=(100−210001),P_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad T_{2,1}(-2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},P2,3=(100001010),D2(−1)=(1000−10001).P_{2,3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad D_{2}(-1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Chaque opération se traduit par une multiplication à gauche, appliquée au résultat de la précédente :
R=D2(−1) P2,3 T2,1(−2) P1,3 A,soitE=D2(−1) P2,3 T2,1(−2) P1,3.R=D_{2}(-1)\,P_{2,3}\,T_{2,1}(-2)\,P_{1,3}\,A, \qquad\text{soit}\qquad E=D_{2}(-1)\,P_{2,3}\,T_{2,1}(-2)\,P_{1,3}.

L'ordre des facteurs est l'inverse de l'ordre chronologique des opérations.

  1. On calcule de droite à gauche. D'abord T2,1(−2)P1,3T_{2,1}(-2)P_{1,3}, c'est-à-dire l'opération L2←L2−2L1L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1} appliquée à P1,3P_{1,3} :
T2,1(−2)P1,3=(00101−2100).T_{2,1}(-2)P_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Puis L2↔L3L_{2}\leftrightarrow L_{3}, puis L2←−L2L_{2}\leftarrow -L_{2} :

P2,3 T2,1(−2)P1,3=(00110001−2),E=(001−10001−2).P_{2,3}\,T_{2,1}(-2)P_{1,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}, \qquad E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}.

Vérification :

EA=(001−10001−2)(0−12223111)=(11101−2001)=R.EA=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=R.

Ligne par ligne : la première ligne de EE prélève la troisième ligne de AA ; la deuxième prélève l'opposée de la première ligne de AA, soit (01−2)\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\end{pmatrix} ; la troisième calcule L2−2L3=(001)L_{2}-2L_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Test 5 : Ordre de composition

Si l'on effectue sur AA l'opération de matrice M1M_{1}, puis celle de matrice M2M_{2}, la matrice obtenue est M1M2AM_{1}M_{2}A.