Puissances d'une matrice carrée

Dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, le produit de deux matrices est encore une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : rien n'empêche donc de multiplier une matrice par elle-même, autant de fois qu'on veut. Mais le produit matriciel n'est pas commutatif : les règles de calcul sur les puissances des nombres vont-elles survivre ?

Pour toutes matrices $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et tout $k\in\mathbb{N}$, on a $(AB)^{k}=A^{k}B^{k}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Calculer $A^{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$.

Le calcul précédent a réussi parce qu'une relation simple reliait $A^{2}$ à $A$. Sans un tel coup de chance, calculer $A^{k}$ demande $k-1$ produits matriciels. Y a-t-il des familles de matrices où la puissance se lit directement sur les coefficients ?

Soient $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $k\in\mathbb{N}^{*}$.

1. Si $A=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$, alors $A^{k}=\mathrm{diag}\bigl(\lambda_{1}^{k},\dots,\lambda_{n}^{k}\bigr)$.

2. Si $A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & \times & \cdots & \times\\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \times\\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{pmatrix}$, alors $A^{k}=\begin{pmatrix} \lambda_{1}^{k} & \times & \cdots & \times\\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \times\\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}^{k} \end{pmatrix}$.

3. Si $A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ \times & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ \times & \cdots & \times & \lambda_{n} \end{pmatrix}$, alors $A^{k}=\begin{pmatrix} \lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0\\ \times & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ \times & \cdots & \times & \lambda_{n}^{k} \end{pmatrix}$.

Si $A$ est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$, la proposition donne les coefficients diagonaux de $A^{k}$, mais aucune information sur ses coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale.

On travaille dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$.

1. Soit $D=\mathrm{diag}(1,-2,3)$. Calculer $D^{k}$ pour tout $k\in\mathbb{N}^{*}$.
2. Déterminer toutes les matrices diagonales $X\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ telles que $X^{2}=\mathrm{diag}(1,4,9)$.
3. Existe-t-il une matrice diagonale $X\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ telle que $X^{2}=D$ ?

Dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, un nombre non nul reste non nul quand on l'élève au carré, au cube, à n'importe quelle puissance. Le produit de deux matrices non nulles pouvant être nul, une matrice non nulle peut-elle finir par s'annuler à force d'être multipliée par elle-même ?

Si $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ vérifie $A^{2}=O_{n}$, alors $A=O_{n}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est nilpotente et donner son indice de nilpotence.

L'indice de nilpotence est défini comme le plus petit entier $p$ tel que $A^{p}=O_{n}$. Que dit exactement cette minimalité — et que se passe-t-il pour les puissances au-delà de $p$ ?

Si $A$ est nilpotente et si $p$ est l'indice de nilpotence de $A$, alors $A^{\,p-1}\neq O_{n}$ et $A^{k}=O_{n}$ pour tout $k\geqslant p$.

Si $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est nilpotente d'indice $3$, alors $A^{10}=O_{n}$.

Soit $N=E_{1,2}+E_{1,3}+E_{2,3}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})$.

1. Écrire $N$ sous forme de tableau.
2. Calculer $N^{2}$ à l'aide de la formule $E_{i,j}E_{k,\ell}=\delta_{k,j}E_{i,\ell}$, puis $N^{3}$.
3. En déduire que $N$ est nilpotente et donner son indice de nilpotence.

L'identité $(a+b)^{p}=\sum_{k}\binom{p}{k}a^{k}b^{\,p-k}$ repose entièrement sur la possibilité de réordonner les facteurs. Dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ce réordonnancement est en général interdit — mais que se passe-t-il si, exceptionnellement, les deux matrices en présence commutent ?

Deux matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ ne commutent pas nécessairement.

Soient $A$ et $B$ deux matrices qui commutent et $p\in\mathbb{N}$. On a

Pour toutes matrices $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et tout $p\in\mathbb{N}$, on a $(A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}A^{k}B^{\,p-k}$.

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $AM=MA$ pour toute matrice $M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. Montrer que $A$ est une matrice scalaire.

Soient $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, $\lambda\in\mathbb{K}$ et $p\in\mathbb{N}$. Alors

Soit $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer $B^{k}$ pour tout $k\in\mathbb{N}^{*}$.