MPSI · Calcul matriciel et systèmes linéaires

Matrices : définitions et premiers exemples

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Dans tout ce chapitre, K\mathbb{K} désigne R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, et nn, pp, qq sont des entiers de N∗\mathbb{N}^{*}.

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Question

Un système linéaire à nn équations et pp inconnues est entièrement déterminé par ses coefficients ai,ja_{i,j} : les inconnues x1,…,xpx_1,\dots,x_p et les signes ++ ne servent qu'à les mettre en scène. Peut-on se donner un objet mathématique qui ne retienne QUE ce tableau de coefficients, et sur lequel on saurait calculer ?

Définition 1 : Matrice à n lignes et p colonnes

On appelle matrice à nn lignes et pp colonnes toute famille

(ai,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽p\bigl(a_{i,j}\bigr)_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p}

d'éléments de K\mathbb{K}. Les nombres ai,ja_{i,j} sont appelés les coefficients de la matrice (ai,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽p\bigl(a_{i,j}\bigr)_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p}.

Notation :

  1. On note Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices à nn lignes et pp colonnes, c'est-à-dire de taille n×pn\times p.

  2. Si A=(ai,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽pA=\bigl(a_{i,j}\bigr)_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p} est une matrice, on note ai,j=[A]i,ja_{i,j}=[A]_{i,j}.

  3. En général, on représente une matrice A=(ai,j)1⩽i⩽n, 1⩽j⩽pA=\bigl(a_{i,j}\bigr)_{1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant p} sous la forme d'un tableau :

A=(a1,1a1,2⋯a1,pa2,1a2,2⋯a2,p⋮ai,j⋮an,1⋯⋯an,p)← ieˋme ligneA=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\ \vdots & & a_{i,j} & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \\ \\ \leftarrow\ i^{\text{ème}}\ \text{ligne}\\ \\ \end{array}

où ai,ja_{i,j} se situe à l'intersection de la ieˋmei^{\text{ème}} ligne et de la jeˋmej^{\text{ème}} colonne.

Exemple :

  1. (201−112)∈M2,3(K)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K}).

  2. (−120231)∈M3,2(K)\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 0 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{K}).

Test 1 : Ordre des indices

Si A∈M4,2(K)A\in\mathcal{M}_{4,2}(\mathbb{K}), alors l'écriture [A]2,4[A]_{2,4} n'a pas de sens.

Exercice 1 : Une matrice définie par une formule

  1. Écrire sous forme de tableau la matrice A∈M3,4(K)A\in\mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{K}) définie par [A]i,j=i−j[A]_{i,j}=i-j.
  2. Écrire sous forme de tableau la matrice B∈M3,3(K)B\in\mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{K}) définie par [B]i,j=i j[B]_{i,j}=i\,j.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. La matrice AA a 33 lignes et 44 colonnes. Sa ieˋmei^{\text{ème}} ligne est (i−1i−2i−3i−4)\begin{pmatrix} i-1 & i-2 & i-3 & i-4\end{pmatrix}, d'où
A=(0−1−2−310−1−2210−1).A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 & -3\\ 1 & 0 & -1 & -2\\ 2 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
  1. La matrice BB a 33 lignes et 33 colonnes, et [B]i,j=i j[B]_{i,j}=i\,j :
B=(123246369).B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}.

Matrices remarquables

Question

Parmi toutes les matrices, certaines vont revenir sans cesse : celle qui ne contient que des zéros, celle qui laissera les calculs inchangés, celles qui n'ont qu'une seule ligne ou qu'une seule colonne. Lesquelles méritent un nom et une notation propres ?

Définition 2 : Matrices remarquables : matrice nulle, identité, ligne et colonne

  1. On appelle matrice nulle la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note On,pO_{n,p} ou simplement OO.

  2. On appelle matrice identité de Mn,n(K)\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K}) la matrice définie par

In=(10⋯001⋱⋮⋮⋱⋱00⋯01).I_{n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. On appelle matrice ligne toute matrice de taille 1×p1\times p : (a1a2⋯ap)\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{p}\end{pmatrix}.

  2. On appelle matrice colonne toute matrice de taille n×1n\times 1 : (a1⋮an)\begin{pmatrix} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n}\end{pmatrix}.

Test 2 : La matrice identité

La matrice identité InI_{n} est la matrice de Mn,n(K)\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K}) dont tous les coefficients sont égaux à 11.

Notation :

On appelle symbole de Kronecker le nombre défini par

δi,j={1si i=j,0si i≠j.\delta_{i,j}=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } i=j,\\ 0 & \text{si } i\neq j. \end{array}\right.

Remarque :

On a In=(δi,j)1⩽i,j⩽nI_{n}=\bigl(\delta_{i,j}\bigr)_{1\leqslant i,j\leqslant n}. En effet, [In]i,j[I_{n}]_{i,j} vaut 11 lorsque i=ji=j et 00 sinon, c'est-à-dire exactement δi,j\delta_{i,j}.

Test 3 : Ligne et colonne à la fois

Une matrice de M1,1(K)\mathcal{M}_{1,1}(\mathbb{K}) est à la fois une matrice ligne et une matrice colonne.

Matrices élémentaires

Question

Une matrice de Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) porte npnp coefficients à la fois. Existe-t-il des matrices « atomiques », ne portant chacune qu'une seule information, et à partir desquelles toutes les autres se reconstruiraient ?

Définition 3 : Matrices élémentaires

Dans Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et pour tout (i,j)∈⟦1,n⟧×⟦1,p⟧(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket, on définit la matrice

Ei,j=(0⋯⋯⋯0⋮⋮0⋯1⋯0⋮⋮0⋯⋯⋯0)← ieˋme ligneE_{i,j}=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ \vdots & & & & \vdots\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & & & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \\ \\ \leftarrow\ i^{\text{ème}}\ \text{ligne}\\ \\ \\ \end{array}

dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à la ieˋmei^{\text{ème}} ligne et à la jeˋmej^{\text{ème}} colonne, qui est égal à 11.

Les matrices Ei,jE_{i,j} sont appelées matrices élémentaires de taille n×pn\times p.

Exemple :

  1. Dans M2,3(K)\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K}), on a
E1,1=(100000),E2,2=(000010).E_{1,1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad E_{2,2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
  1. Dans M3,3(K)\mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{K}), on a
E2,1=(000100000),E3,2=(000000010).E_{2,1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad E_{3,2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

Remarque le rôle du couple d'indices : E2,1E_{2,1} et E1,2E_{1,2} ne sont pas la même matrice. Comment traduire cette position (i,j)(i,j) par une formule, sans dessiner le tableau ?

Remarque :

Il y a npnp matrices élémentaires de taille n×pn\times p. En effet, une telle matrice est entièrement déterminée par la position (i,j)(i,j) de son unique coefficient non nul, et il y a npnp couples (i,j)(i,j) dans ⟦1,n⟧×⟦1,p⟧\llbracket 1,n\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket.

Test 4 : Existence d'une matrice élémentaire

Dans M2,3(K)\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K}), la matrice élémentaire E3,2E_{3,2} est bien définie.

Exercice 2 : Matrices élémentaires et symbole de Kronecker

  1. Écrire sous forme de tableau les matrices E2,4E_{2,4} et E3,1E_{3,1} de M3,4(K)\mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{K}).
  2. Soit (i,j)∈⟦1,n⟧×⟦1,p⟧(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket. Montrer que, pour tout (k,ℓ)∈⟦1,n⟧×⟦1,p⟧(k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket,
[Ei,j]k,ℓ=δi,k δj,ℓ.\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell}=\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell}.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. Les deux matrices appartiennent à M3,4(K)\mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{K}) : elles ont donc 33 lignes et 44 colonnes, et un unique coefficient non nul, égal à 11.
E2,4=(000000010000),E3,1=(000000001000).E_{2,4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{3,1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Soit (k,ℓ)∈⟦1,n⟧×⟦1,p⟧(k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket\times\llbracket 1,p\rrbracket. Par définition de Ei,jE_{i,j} :
  • si (k,ℓ)=(i,j)(k,\ell)=(i,j), c'est-à-dire si k=ik=i et ℓ=j\ell=j, alors [Ei,j]k,ℓ=1\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell}=1 ;
  • sinon, [Ei,j]k,ℓ=0\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell}=0.

D'autre part, par définition du symbole de Kronecker, δi,k δj,ℓ\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell} est un produit de deux facteurs valant chacun 00 ou 11. Ce produit vaut donc 11 si et seulement si δi,k=1\delta_{i,k}=1 et δj,ℓ=1\delta_{j,\ell}=1, c'est-à-dire si et seulement si k=ik=i et ℓ=j\ell=j ; il vaut 00 dans tous les autres cas.

Les deux quantités [Ei,j]k,ℓ\bigl[E_{i,j}\bigr]_{k,\ell} et δi,k δj,ℓ\delta_{i,k}\,\delta_{j,\ell} valent donc 11 exactement dans le même cas et 00 ailleurs : elles sont égales.