Matrices inversibles : définition et premiers exemples

On utilise la relation $E_{a,b}E_{c,d}=\delta_{b,c}E_{a,d}$, qui donne en particulier, pour $i\neq j$ :

1. On pose $N=-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}$, de sorte que $P_{i,j}=I_{n}+N$. Un calcul direct à l'aide des relations précédentes donne

Par conséquent

D'où $P_{i,j}$ est inversible et $P_{i,j}^{-1}=P_{i,j}$.

2. On a

car le coefficient total de $E_{i,i}$ vaut $\Bigl(\dfrac{1}{\lambda}-1\Bigr)+(\lambda-1)+(\lambda-1)\Bigl(\dfrac{1}{\lambda}-1\Bigr)=0$. Le produit dans l'autre ordre se calcule de la même façon, les deux facteurs étant tous deux de la forme $I_{n}+\alpha E_{i,i}$ : ils commutent.

3. On a $T_{i,j}(\lambda)=I_{n}+\lambda E_{i,j}$ avec $i\neq j$, donc $E_{i,j}E_{i,j}=\delta_{j,i}E_{i,j}=O_{n}$, d'où

et de même dans l'autre ordre, les deux facteurs commutant. D'où $\bigl(T_{i,j}(\lambda)\bigr)^{-1}=T_{i,j}(-\lambda)$.

Supposons d'abord $N$ triangulaire supérieure à diagonale nulle, c'est-à-dire $[N]_{i,j}=0$ dès que $j\leqslant i$. Montrons par récurrence sur $k\in\mathbb{N}^{*}$ la propriété

• Pour $k=1$, la condition s'écrit $j\leqslant i$ : c'est l'hypothèse sur $N$.
• Soit $k\in\mathbb{N}^{*}$ vérifiant $\mathcal{P}(k)$, et soient $i,j$ tels que $j\leqslant i+k$. On a

Dans cette somme, un terme n'est non nul que si $\bigl[N^{k}\bigr]_{i,s}\neq 0$, ce qui impose $s\geqslant i+k$ par $\mathcal{P}(k)$, et si $[N]_{s,j}\neq 0$, ce qui impose $j\geqslant s+1$. On aurait alors $j\geqslant i+k+1$, contredisant $j\leqslant i+k$. Tous les termes sont donc nuls, et $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Appliquons $\mathcal{P}(n)$ : pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on a $j\leqslant n\leqslant i+n-1$, donc $\bigl[N^{n}\bigr]_{i,j}=0$. D'où $N^{n}=O_{n}$.

Si $N$ est triangulaire inférieure à diagonale nulle, alors $N^{\mathsf{T}}$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle, donc $\bigl(N^{\mathsf{T}}\bigr)^{n}=O_{n}$. Or $\bigl(N^{\mathsf{T}}\bigr)^{n}=\bigl(N^{n}\bigr)^{\mathsf{T}}$, d'où $\bigl(N^{n}\bigr)^{\mathsf{T}}=O_{n}$ et donc $N^{n}=O_{n}$.

Cas des matrices diagonales. Soit $A=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$.

Si tous les $\lambda_{i}$ sont non nuls, la formule du produit de deux matrices diagonales donne

et de même dans l'autre ordre : $A$ est inversible, d'inverse la matrice annoncée.

Réciproquement, si $\lambda_{k}=0$ pour un certain $k$, la $k^{\text{ème}}$ ligne de $A$ est nulle, donc celle de $AB$ l'est aussi pour toute matrice $B$, et $AB\neq I_{n}$ : la matrice $A$ n'est pas inversible.

Cas des matrices triangulaires supérieures. Soit $A$ triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux $a_{1,1},\dots,a_{n,n}$.

Sens direct. Supposons qu'il existe un indice $k$ tel que $a_{k,k}=0$, et choisissons-le minimal. Construisons une colonne $X\neq 0$ telle que $AX=0$. On pose $x_{j}=0$ pour tout $j>k$ et $x_{k}=1$. Les équations de $AX=0$ s'écrivent, pour chaque ligne $i$,

• Pour $i>k$, tous les $x_{j}$ intervenant ont un indice $j\geqslant i>k$ : ils sont nuls, l'équation est vérifiée.
• Pour $i=k$, l'équation se réduit à $a_{k,k}x_{k}=0$, vraie puisque $a_{k,k}=0$.
• Pour $i<k$, elle s'écrit $a_{i,i}x_{i}+\sum_{j=i+1}^{k}a_{i,j}x_{j}=0$, et $a_{i,i}\neq 0$ par minimalité de $k$ : elle détermine $x_{i}$ de proche en proche, en remontant de $i=k-1$ jusqu'à $i=1$.

On obtient ainsi $X\neq 0$ (car $x_{k}=1$) avec $AX=0$. Si $A$ était inversible, on aurait $X=A^{-1}AX=A^{-1}\cdot 0=0$, ce qui est absurde. Donc $A$ n'est pas inversible.

Sens réciproque. Supposons tous les $a_{i,i}$ non nuls. Posons $D=\mathrm{diag}(a_{1,1},\dots,a_{n,n})$ et $N=A-D$ : la matrice $N$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle. La matrice $D$ est inversible d'après le premier cas, et

La matrice $M$ est un produit de deux matrices triangulaires supérieures, donc est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux valent $[M]_{i,i}=\bigl[D^{-1}\bigr]_{i,i}[N]_{i,i}=0$. D'après le lemme, $M$ est nilpotente, donc $-M$ aussi, et l'exercice précédent donne l'inversibilité de $I_{n}-(-M)=I_{n}+M$. En posant

on vérifie directement

et, de la même façon, $BA=I_{n}$. D'où $A$ est inversible.

Cas des matrices triangulaires inférieures. Il est identique, en remplaçant partout « supérieure » par « inférieure » : le lemme vaut dans les deux cas, la décomposition $A=D(I_{n}+M)$ également, et la construction de $X$ se mène cette fois de haut en bas, à partir du plus grand indice $k$ tel que $a_{k,k}=0$.

Posons $B=\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$. On a

et un calcul identique donne $BA=(ad-bc)\,I_{2}$.

Si $ad-bc\neq 0$, on peut diviser : la matrice $\frac{1}{ad-bc}B$ vérifie $A\cdot\frac{1}{ad-bc}B=\frac{1}{ad-bc}B\cdot A=I_{2}$. Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}B$.

Si $ad-bc=0$, alors $AB=O_{2}$. Supposons $A$ inversible : en multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtiendrait $B=O_{2}$, c'est-à-dire $a=b=c=d=0$, donc $A=O_{2}$ — or la matrice nulle n'est pas inversible, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $A$ n'est pas inversible.

1. On a

et symétriquement

Donc $AB$ est inversible et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.

2. On suppose que $A$ est inversible. En utilisant $(MN)^{\mathsf{T}}=N^{\mathsf{T}}M^{\mathsf{T}}$ et $I_{n}^{\mathsf{T}}=I_{n}$,

Donc $A^{\mathsf{T}}$ est inversible et $\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr)^{-1}=\bigl(A^{-1}\bigr)^{\mathsf{T}}$.

Réciproquement, si $A^{\mathsf{T}}$ est inversible, le sens direct appliqué à la matrice $A^{\mathsf{T}}$ montre que $\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr)^{\mathsf{T}}$ est inversible ; or $\bigl(A^{\mathsf{T}}\bigr)^{\mathsf{T}}=A$.