MPSI · Calcul matriciel et systèmes linéaires

Matrices carrées remarquables

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Matrices carrées

Question

Le produit ABAB n'est défini que si les tailles s'accordent, et ABAB n'a en général ni la taille de AA, ni celle de BB. Existe-t-il une famille de matrices où l'on puisse multiplier n'importe quel couple, et rester dans la famille — donc où l'on puisse enfin calculer A2A^2, A3A^3, et faire de l'algèbre ?

Définition 1 : Matrice carrée

On dit qu'une matrice AA est une matrice carrée si sa taille est de la forme n×nn\times n, avec n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}.

On note Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices carrées de taille n×nn\times n.

Remarque :

L'ensemble Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est stable par somme et par produit. En effet, deux matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) ont même taille, donc leur somme est définie et appartient à Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) ; et le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde, donc leur produit est défini et appartient à Mn,n(K)=Mn(K)\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).

Test 1 : Où le carré a-t-il un sens ?

Pour toute matrice A∈M2,3(K)A\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K}), la matrice A2=AAA^{2}=AA est bien définie.

Matrices diagonales et triangulaires

Question

Multiplier deux matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) coûte n3n^{3} multiplications de scalaires. Certaines matrices, hérissées de zéros à des places bien choisies, rendent ce calcul beaucoup plus simple. Quelles dispositions de zéros méritent d'être nommées ?

Définition 2 : Matrices diagonales et matrices triangulaires

Soit A∈Mn(K)A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).

  1. On dit que AA est une matrice diagonale si [A]i,j=0[A]_{i,j}=0 pour tous i≠ji\neq j.
  2. On dit que AA est une matrice triangulaire supérieure si [A]i,j=0[A]_{i,j}=0 pour tous i>ji>j.
  3. On dit que AA est une matrice triangulaire inférieure si [A]i,j=0[A]_{i,j}=0 pour tous i<ji<j.

Exemple :

  1. La matrice (10002000−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} est une matrice diagonale.

  2. La matrice (12−101300−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix} est une matrice triangulaire supérieure.

Test 2 : Triangulaire des deux côtés

Une matrice de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) qui est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure est diagonale.

Remarque :

  1. Une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure. En effet, si [A]i,j=0[A]_{i,j}=0 dès que i≠ji\neq j, c'est en particulier vrai lorsque i>ji>j et lorsque i<ji<j.

  2. La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure, et réciproquement. En effet, si AA est triangulaire supérieure et si i<ji<j, alors [AT]i,j=[A]j,i=0\bigl[A^{\mathsf{T}}\bigr]_{i,j}=[A]_{j,i}=0 puisque j>ij>i : la matrice ATA^{\mathsf{T}} est triangulaire inférieure.

Question

Ces familles sont définies par des zéros imposés à certaines positions. La somme préserve évidemment ces zéros, puisqu'elle se fait case par case — mais le produit, lui, mélange toute une ligne avec toute une colonne. Va-t-il détruire la structure ?

Proposition 1 : Stabilité par produit des matrices diagonales et triangulaires

  1. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
  2. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
  3. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.

Démonstration :

  1. Soient AA et BB deux matrices diagonales et soient i,j∈⟦1,n⟧i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket. On a
[AB]i,j=∑k=1n[A]i,k [B]k,j.[AB]_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}[A]_{i,k}\,[B]_{k,j}.

Dans cette somme, [A]i,k=0[A]_{i,k}=0 dès que k≠ik\neq i : seul subsiste le terme d'indice k=ik=i, d'où [AB]i,j=[A]i,i [B]i,j[AB]_{i,j}=[A]_{i,i}\,[B]_{i,j}. Si de plus i≠ji\neq j, alors [B]i,j=0[B]_{i,j}=0 puisque BB est diagonale, donc [AB]i,j=0[AB]_{i,j}=0.

D'où ABAB est une matrice diagonale, et l'on retient au passage que [AB]i,i=[A]i,i [B]i,i[AB]_{i,i}=[A]_{i,i}\,[B]_{i,i}.

  1. Soient AA et BB deux matrices triangulaires supérieures, et soient i,j∈⟦1,n⟧i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket tels que i>ji>j. On a
[AB]i,j=∑k=1n[A]i,k [B]k,j=∑k=1i−1[A]i,k [B]k,j+∑k=in[A]i,k [B]k,j.[AB]_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}[A]_{i,k}\,[B]_{k,j} =\sum_{k=1}^{i-1}[A]_{i,k}\,[B]_{k,j}+\sum_{k=i}^{n}[A]_{i,k}\,[B]_{k,j}.

Pour tout k⩽i−1k\leqslant i-1, on a [A]i,k=0[A]_{i,k}=0 ; et pour tout k⩾i>jk\geqslant i>j, on a [B]k,j=0[B]_{k,j}=0. Donc [AB]i,j=0[AB]_{i,j}=0.

D'où ABAB est une matrice triangulaire supérieure.

  1. Soient AA et BB deux matrices triangulaires inférieures. D'après la remarque précédente, ATA^{\mathsf{T}} et BTB^{\mathsf{T}} sont triangulaires supérieures, donc BTATB^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}} est triangulaire supérieure d'après le point 2. Or BTAT=(AB)TB^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}=(AB)^{\mathsf{T}}, donc (AB)T(AB)^{\mathsf{T}} est triangulaire supérieure, et de nouveau par la remarque, AB=((AB)T)TAB=\bigl((AB)^{\mathsf{T}}\bigr)^{\mathsf{T}} est triangulaire inférieure.

Test 3 : Mélanger les deux triangles

Le produit d'une matrice triangulaire supérieure par une matrice triangulaire inférieure est toujours une matrice triangulaire.

Exercice 1 : Diagonale d'un produit de matrices triangulaires

  1. Soient AA et BB deux matrices triangulaires supérieures de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}). Montrer que, pour tout i∈⟦1,n⟧i\in\llbracket 1,n\rrbracket,
[AB]i,i=[A]i,i [B]i,i.[AB]_{i,i}=[A]_{i,i}\,[B]_{i,i}.
  1. En déduire les coefficients diagonaux de C2C^{2}, où C=(21−10−34001)C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 0 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, sans calculer entièrement C2C^{2}.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. Soit i∈⟦1,n⟧i\in\llbracket 1,n\rrbracket. On a
[AB]i,i=∑k=1n[A]i,k [B]k,i.[AB]_{i,i}=\sum_{k=1}^{n}[A]_{i,k}\,[B]_{k,i}.

Comme AA est triangulaire supérieure, [A]i,k=0[A]_{i,k}=0 pour tout k<ik<i : les termes d'indice k<ik<i sont nuls. Comme BB est triangulaire supérieure, [B]k,i=0[B]_{k,i}=0 pour tout k>ik>i : les termes d'indice k>ik>i sont nuls également. Il ne reste que le terme d'indice k=ik=i, d'où

[AB]i,i=[A]i,i [B]i,i.[AB]_{i,i}=[A]_{i,i}\,[B]_{i,i}.
  1. La matrice CC est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux 22, −3-3 et 11. En appliquant la question 1 avec A=B=CA=B=C, les coefficients diagonaux de C2C^{2} sont
22=4,(−3)2=9,12=1.2^{2}=4,\qquad (-3)^{2}=9,\qquad 1^{2}=1.

On sait de plus, par la proposition, que C2C^{2} est triangulaire supérieure : ces trois nombres sont donc les seuls coefficients de C2C^{2} situés sur ou sous la diagonale.

Notation :

Si AA est une matrice diagonale et si λ1,…,λn\lambda_{1},\dots,\lambda_{n} sont ses coefficients diagonaux, avec [A]i,i=λi[A]_{i,i}=\lambda_{i}, on note A=diag(λ1,…,λn)A=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}). Ainsi, d'après le premier point de la preuve précédente,

diag(λ1,…,λn) diag(μ1,…,μn)=diag(λ1μ1,…,λnμn).\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\,\mathrm{diag}(\mu_{1},\dots,\mu_{n}) =\mathrm{diag}(\lambda_{1}\mu_{1},\dots,\lambda_{n}\mu_{n}).

Matrices symétriques et antisymétriques

Question

La transposition est une involution de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) : l'appliquer deux fois ramène au point de départ. Comme toute involution, elle possède des points fixes — les matrices que la transposition laisse inchangées — et des points « retournés », celles qu'elle change en leur opposée. Que valent ces deux familles ?

Définition 3 : Matrices symétriques et matrices antisymétriques

Soit A∈Mn(K)A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).

  1. On dit que AA est une matrice symétrique si AT=AA^{\mathsf{T}}=A. On note Sn(K)\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices symétriques de taille n×nn\times n.

  2. On dit que AA est une matrice antisymétrique si AT=−AA^{\mathsf{T}}=-A. On note ASn(K)\mathcal{A}\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) ou An(K)\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices antisymétriques de taille n×nn\times n.

Exemple :

Dans M3(K)\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K}), la matrice (12−1205−153)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2 & 0 & 5\\ -1 & 5 & 3\end{pmatrix} est symétrique et la matrice (02−1−2051−50)\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\ -2 & 0 & 5\\ 1 & -5 & 0\end{pmatrix} est antisymétrique : la première est invariante par pliage le long de la diagonale, la seconde change de signe. Remarque que la diagonale de la seconde est nulle. Est-ce un hasard ?

Remarque :

Si A∈An(K)A\in\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}), alors [A]i,i=0[A]_{i,i}=0. En effet, pour tout i∈⟦1,n⟧i\in\llbracket 1,n\rrbracket, la définition de la transposée donne [A]i,i=[AT]i,i=[−A]i,i=−[A]i,i[A]_{i,i}=\bigl[A^{\mathsf{T}}\bigr]_{i,i}=[-A]_{i,i}=-[A]_{i,i}, d'où 2 [A]i,i=02\,[A]_{i,i}=0 et donc [A]i,i=0[A]_{i,i}=0, puisque 2≠02\neq 0 dans K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}.

Test 4 : Carré d'une antisymétrique

Si A∈Mn(K)A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est antisymétrique, alors A2A^{2} est symétrique.

Exercice 2 : Quand le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ?

Soient A,B∈Sn(K)A,B\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}).

  1. Montrer que AB∈Sn(K)AB\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) si et seulement si AB=BAAB=BA.
  2. Exhiber deux matrices symétriques de M2(K)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) dont le produit n'est pas symétrique.
Solution :(cliquer pour afficher)
  1. Comme AT=AA^{\mathsf{T}}=A et BT=BB^{\mathsf{T}}=B, la propriété de la transposée d'un produit donne
(AB)T=BTAT=BA.(AB)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}=BA.

Dès lors :

AB∈Sn(K)  ⟺  (AB)T=AB  ⟺  BA=AB.AB\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) \iff (AB)^{\mathsf{T}}=AB \iff BA=AB.
  1. Posons A=(1000)A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} et B=(0110)B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} : ces deux matrices sont bien symétriques. On a
AB=(0100)etBA=(0010).AB=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad BA=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Comme AB≠BAAB\neq BA, la question 1 assure que ABAB n'est pas symétrique — ce que l'on lit d'ailleurs directement sur ABAB, dont les deux coefficients hors diagonale valent 11 et 00.

Question

Les deux familles Sn(K)\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) et An(K)\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}) ne se rencontrent qu'en la matrice nulle. Sont-elles pour autant « assez grosses » pour reconstituer, à elles deux, tout Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) ?

Exercice 3 : Décomposition symétrique-antisymétrique

Montrer que toute matrice de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit M∈Mn(K)M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).

Analyse. On suppose qu'il existe A∈Sn(K)A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}) et B∈An(K)B\in\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}) tels que M=A+BM=A+B. On a alors

MT=AT+BT=A−B,M^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}+B^{\mathsf{T}}=A-B,

d'où MT+M=2AM^{\mathsf{T}}+M=2A et M−MT=2BM-M^{\mathsf{T}}=2B. Ainsi

A=12(MT+M)etB=12(M−MT).A=\tfrac{1}{2}\bigl(M^{\mathsf{T}}+M\bigr) \qquad\text{et}\qquad B=\tfrac{1}{2}\bigl(M-M^{\mathsf{T}}\bigr).

Synthèse. On pose A=12(MT+M)A=\tfrac{1}{2}\bigl(M^{\mathsf{T}}+M\bigr) et B=12(M−MT)B=\tfrac{1}{2}\bigl(M-M^{\mathsf{T}}\bigr). On a AT=AA^{\mathsf{T}}=A et BT=−BB^{\mathsf{T}}=-B, et M=A+BM=A+B.

D'où MM est la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Remarque :

L'analyse menée ci-dessus montre davantage que l'existence : elle impose AA et BB, qui ne peuvent être que 12(M+MT)\tfrac{1}{2}\bigl(M+M^{\mathsf{T}}\bigr) et 12(M−MT)\tfrac{1}{2}\bigl(M-M^{\mathsf{T}}\bigr). La décomposition d'une matrice carrée en somme d'une symétrique et d'une antisymétrique est donc unique.

Test 5 : À la fois symétrique et antisymétrique

Il existe dans Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) une matrice non nulle qui soit à la fois symétrique et antisymétrique.