MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Bases orthonormées

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Question

Comment reconnaître une base dans laquelle les coordonnées, le produit scalaire et la norme se calculent directement, sans résoudre de système ?

Définition 1 : Base orthonormée

Une base orthonormée de EE est une base de EE qui est une famille orthonormée. Autrement dit, ses vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

Exemple :

Les bases canoniques de Rn\mathbb{R}^n et de Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) sont orthonormées.

Proposition 1 : Reconnaître une base orthonormée

Dans un espace euclidien de dimension nn, toute famille orthonormée de nn vecteurs est une base orthonormée.

Exemple :

Dans R2\mathbb{R}^2, la famille (12(1,1), 12(1,−1))\left( \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) \right) est orthonormée : deux vecteurs unitaires et orthogonaux, donc une base orthonormée d'après le critère — sans rien vérifier de plus. Comment mener cette vérification sur une famille donnée ?

Exercice 1 : Reconnaître une base orthonormée

Dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique, montrer que la famille (a1,a2,a3)(a_1, a_2, a_3) est une base orthonormée, où

a1=13(1,1,1),a2=12(1,0,−1),a3=16(−1,2,−1).a_1 = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \qquad a_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \qquad a_3 = \tfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1).
Solution :(cliquer pour afficher)

On vérifie d'abord que les trois vecteurs sont unitaires :

∥a1∥2=1+1+13=1,∥a2∥2=1+0+12=1,∥a3∥2=1+4+16=1.\|a_1\|^2 = \tfrac{1+1+1}{3} = 1, \qquad \|a_2\|^2 = \tfrac{1+0+1}{2} = 1, \qquad \|a_3\|^2 = \tfrac{1+4+1}{6} = 1.

Puis qu'ils sont deux à deux orthogonaux :

(a1∣a2)=1+0−132=0,(a1∣a3)=−1+2−136=0,(a2∣a3)=−1+0+126=0.(a_1 \mid a_2) = \tfrac{1+0-1}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = 0, \quad (a_1 \mid a_3) = \tfrac{-1+2-1}{\sqrt{3}\sqrt{6}} = 0, \quad (a_2 \mid a_3) = \tfrac{-1+0+1}{\sqrt{2}\sqrt{6}} = 0.

La famille est donc orthonormée. Elle compte 33 vecteurs dans un espace de dimension 33 : d'après le critère, c'est une base orthonormée. Aucune vérification que la famille engendre R3\mathbb{R}^3 n'est nécessaire.

Question

Une fois qu'on dispose d'une base orthonormée, comment calculer les coordonnées d'un vecteur, un produit scalaire et une norme sans résoudre de système ?

Proposition 2 : Calculs dans une base orthonormée

Soit (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) une base orthonormée de EE et soient x,y∈Ex, y \in E. Alors :

  1. les coordonnées de xx sont ses produits scalaires avec les eie_i : x=∑i=1n(x∣ei) ei\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)\, e_i ;
  2. (x∣y)=∑i=1n(x∣ei)(y∣ei)\displaystyle (x \mid y) = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)(y \mid e_i) ;
  3. ∥x∥2=∑i=1n(x∣ei)2\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)^2.

Exemple :

Dans R2\mathbb{R}^2 euclidien, (w1,w2)=(15(1,2), 15(2,−1))\left( w_1, w_2 \right) = \left( \tfrac{1}{\sqrt{5}}(1,2),\ \tfrac{1}{\sqrt{5}}(2,-1) \right) est une base orthonormée. Les coordonnées de x=(3,1)x = (3,1) s'y lisent par produit scalaire, sans résoudre de système :

(x∣w1)=3+25=5,(x∣w2)=6−15=5.(x \mid w_1) = \tfrac{3+2}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}, \qquad (x \mid w_2) = \tfrac{6-1}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.

Comment dérouler proprement ce calcul sur un vecteur donné ?

Rédaction — Trouver les coordonnées dans une base orthonormée :

Pour exprimer un vecteur xx dans une base orthonormée (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) :

  1. calculer chaque produit scalaire (x∣ei)(x \mid e_i) : c'est la ii-ème coordonnée de xx ;
  2. écrire x=∑i=1n(x∣ei) ei\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)\, e_i ;
  3. si besoin, la norme et le produit scalaire se déduisent des mêmes produits scalaires (formules ci-dessus), toujours sans système.

Une telle base existe toujours en dimension finie : à partir d'une base quelconque, le procédé de Gram-Schmidt en fournit une (leçon précédente).

Exercice 2 : Coordonnées et norme dans une base orthonormée

Dans R2\mathbb{R}^2 muni du produit scalaire canonique, on pose v1=15(3,4)v_1 = \tfrac{1}{5}(3,4) et v2=15(−4,3)v_2 = \tfrac{1}{5}(-4,3). On admet que (v1,v2)(v_1, v_2) est une base orthonormée. Déterminer les coordonnées de x=(2,1)x = (2,1) dans cette base, puis retrouver ∥x∥2\|x\|^2.

Solution :(cliquer pour afficher)

On calcule les deux produits scalaires :

(x∣v1)=2×3+1×45=105=2,(x∣v2)=2×(−4)+1×35=−55=−1.(x \mid v_1) = \tfrac{2 \times 3 + 1 \times 4}{5} = \tfrac{10}{5} = 2, \qquad (x \mid v_2) = \tfrac{2 \times (-4) + 1 \times 3}{5} = \tfrac{-5}{5} = -1.

Les coordonnées de xx dans (v1,v2)(v_1, v_2) sont donc (2,−1)(2, -1), c'est-à-dire x=2 v1−v2x = 2\,v_1 - v_2. Pour la norme :

∥x∥2=(x∣v1)2+(x∣v2)2=22+(−1)2=5,\|x\|^2 = (x \mid v_1)^2 + (x \mid v_2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5,

ce qui coïncide bien avec ∥(2,1)∥2=4+1=5\|(2,1)\|^2 = 4 + 1 = 5.