Norme associée à un produit scalaire

Le produit scalaire sert à mesurer des angles. Comment s'en servir pour calculer une longueur — la norme d'un vecteur — et une distance entre deux vecteurs ? Et comment majorer un produit scalaire qu'on ne sait pas évaluer exactement ?

Dans les espaces munis de leur produit scalaire canonique, calculer :

1. $\|(1,2,3)\|$ dans $\mathbb{R}^3$ ;
2. $\|f\|$ pour $f(t) = t$ dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, où $(f \mid g) = \displaystyle\int_0^1 f(t)\,g(t)\,dt$ ;
3. la distance entre $(1,2,3)$ et $(4,-1,2)$ dans $\mathbb{R}^3$.

Pour tous $x, y \in E$ :

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Écrire explicitement l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans chacun des cas suivants :

1. $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, pour $X = (x_1, \dots, x_n)$ et $Y = (y_1, \dots, y_n)$ ;
2. $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ muni de $(f \mid g) = \displaystyle\int_a^b f(t)\, g(t)\, dt$.

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$. Montrer que

Étudier le cas d'égalité. (Indication : applique Cauchy-Schwarz aux bons vecteurs.)

Pour tous $x, y \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ :

1. $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$ ;
2. $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$ (inégalité triangulaire).

Soient $x, y \in E$. Montrer que

(Indication : pars de $x = (x - y) + y$.)