MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Norme associée à un produit scalaire

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Soit EE un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot).

Question

Dans le plan, la longueur d'un vecteur se calcule à partir du produit scalaire : ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}. Peut-on, dans n'importe quel espace préhilbertien, définir ainsi une notion de longueur — et donc de distance — à partir du seul produit scalaire ? Quelles propriétés d'une « vraie » longueur (positivité, inégalité triangulaire...) cette construction vérifie-t-elle ?

Définition 1 : Norme et distance associées à un produit scalaire

  1. On appelle norme associée au produit scalaire (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot) l'application
∥⋅∥ ⁣:E⟶R+x⟼∥x∥=(x∣x)\|\cdot\| \colon \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{R}^{+} \\ x & \longmapsto & \|x\| = \sqrt{(x \mid x)} \end{array}
  1. On appelle distance associée au produit scalaire (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot) l'application
d ⁣:E2⟶R+(x,y)⟼∥x−y∥=(x−y∣x−y)d \colon \begin{array}{ccl} E^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^{+} \\ (x,y) & \longmapsto & \|x - y\| = \sqrt{(x - y \mid x - y)} \end{array}

Vocabulaire :

Une norme associée à un produit scalaire est dite norme euclidienne.

Question

Le produit scalaire détermine la norme par ∥x∥=(x∣x)\|x\| = \sqrt{(x \mid x)}. La réciproque est-elle vraie : peut-on retrouver le produit scalaire (x∣y)(x \mid y) si l'on ne connaît que les normes ?

Proposition 1 : Identités de polarisation et du parallélogramme

Soient x,y∈Ex, y \in E. Alors :

  1. ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2+2 (x∣y)\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\,(x \mid y) ;
  2. (x∣y)=12(∥x+y∥2−∥x∥2−∥y∥2)(x \mid y) = \dfrac{1}{2} \left( \|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2 \right) (formule de polarisation) ;
  3. ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2 \left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right) (formule du parallélogramme).

Démonstration :

  1. On a
∥x+y∥2=(x+y∣x+y)=(x∣x)+(x∣y)+(y∣x)+(y∣y)=∥x∥2+∥y∥2+2 (x∣y).\|x+y\|^2 = (x+y \mid x+y) = (x \mid x) + (x \mid y) + (y \mid x) + (y \mid y) = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\,(x \mid y).
  1. Il suffit d'isoler (x∣y)(x \mid y) dans l'identité précédente.
  2. On a ∥x−y∥2=∥x∥2+∥y∥2−2 (x∣y)\|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\,(x \mid y), donc
∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2).\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2 \left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right).
ABCDxyx+yx−y
Dans un parallélogramme ABCD : AC² + BD² = 2(AB² + AD²).

Test 1

Pour tous x,y∈Ex, y \in E : ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2.

Question

La norme d'un vecteur et le produit scalaire de deux vecteurs sont liés par les identités précédentes. Mais peut-on comparer ∣(x∣y)∣|(x \mid y)| au produit des longueurs ∥x∥⋅∥y∥\|x\| \cdot \|y\| ?

Proposition 2 : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 :

∣(x∣y)∣⩽∥x∥⋅∥y∥,|(x \mid y)| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|,

avec égalité si et seulement si xx et yy sont colinéaires.

Démonstration :

Soit (x,y)∈E2(x,y) \in E^2.

  • Soit λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. On pose
P(λ)=∥x+λy∥2=∥y∥2 λ2+2 (x∣y) λ+∥x∥2.P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 = \|y\|^2\, \lambda^2 + 2\,(x \mid y)\, \lambda + \|x\|^2.

Si y=0y = 0, l'inégalité est triviale. Si y≠0y \neq 0, alors ∥y∥≠0\|y\| \neq 0, donc PP est un polynôme du second degré. Comme P(λ)⩾0P(\lambda) \geqslant 0 pour tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, son discriminant est négatif ; ainsi

(2 (x∣y))2−4 ∥x∥2 ∥y∥2⩽0,\left( 2\,(x \mid y) \right)^2 - 4\, \|x\|^2\, \|y\|^2 \leqslant 0,

d'où ∣(x∣y)∣⩽∥x∥⋅∥y∥|(x \mid y)| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|.

  • On a l'égalité si et seulement si Δ=0\Delta = 0, ce qui est équivalent à l'existence de λ0∈R\lambda_0 \in \mathbb{R} tel que P(λ0)=0P(\lambda_0) = 0, c'est-à-dire x=−λ0 yx = -\lambda_0\, y.

Exemple :

  1. Soient (xi)1⩽i⩽n, (yi)1⩽i⩽n∈Rn(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n},\ (y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n. L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire canonique de Rn\mathbb{R}^n s'écrit sous la forme :
∣∑i=1nxi yi∣⩽∑i=1nxi2 ⋅ ∑i=1nyi2.\left| \sum_{i=1}^{n} x_i\, y_i \right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\ \cdot\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2}.
  1. Soient f,g∈C([a,b],R)f, g \in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}). L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire (f∣g)=∫abf(t) g(t) dt(f \mid g) = \displaystyle\int_a^b f(t)\, g(t)\, dt s'écrit sous la forme :
∣∫abf(t) g(t) dt∣⩽∫abf(t)2 dt ⋅ ∫abg(t)2 dt.\left| \int_a^b f(t)\, g(t)\, dt \right| \leqslant \sqrt{\int_a^b f(t)^2\, dt}\ \cdot\ \sqrt{\int_a^b g(t)^2\, dt}.

Exercice 1 : Une application de Cauchy-Schwarz

Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et x1,…,xn∈Rx_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}. Montrer que

(∑i=1nxi)2⩽n∑i=1nxi2.\left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \leqslant n \sum_{i=1}^{n} x_i^2.

Étudier le cas d'égalité.

Solution :(cliquer pour afficher)

Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rn\mathbb{R}^n muni du produit scalaire canonique aux vecteurs X=(x1,…,xn)X = (x_1, \dots, x_n) et U=(1,…,1)U = (1, \dots, 1) :

∣∑i=1nxi⋅1∣⩽∑i=1nxi2 ⋅ ∑i=1n12=n ∑i=1nxi2.\left| \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot 1 \right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\ \cdot\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n} 1^2} = \sqrt{n}\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.

En élevant au carré :

(∑i=1nxi)2⩽n∑i=1nxi2.\left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \leqslant n \sum_{i=1}^{n} x_i^2.

Il y a égalité si et seulement si XX et UU sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si x1=x2=⋯=xnx_1 = x_2 = \dots = x_n.

Question

On a défini ∥x∥=(x∣x)\|x\| = \sqrt{(x \mid x)} en l'appelant « norme ». Mais mérite-t-elle ce nom : vérifie-t-elle les propriétés attendues d'une longueur, en particulier l'inégalité triangulaire ?

Proposition 3 : Propriétés de la norme euclidienne

  1. ∀x∈E,∥x∥=0  ⟹  x=0\forall x \in E, \quad \|x\| = 0 \implies x = 0 ;
  2. ∀x∈E, ∀λ∈R,∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥\forall x \in E,\ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\| ;
  3. ∀(x,y)∈E2,∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥\forall (x,y) \in E^2, \quad \|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|, avec égalité si et seulement si xx et yy sont positivement colinéaires, c'est-à-dire ∃λ∈R+, x=λy\exists \lambda \in \mathbb{R}^{+},\ x = \lambda y ou ∃μ∈R+, y=μx\exists \mu \in \mathbb{R}^{+},\ y = \mu x.

Démonstration :

  1. Soit x∈Ex \in E tel que ∥x∥=0\|x\| = 0 ; alors (x∣x)=0(x \mid x) = 0. Or le produit scalaire est une forme bilinéaire définie positive, donc x=0x = 0.
  2. Soient x,y∈Ex, y \in E. On a
∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2+2 (x∣y)et(x∣y)⩽∥x∥⋅∥y∥,\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\,(x \mid y) \qquad \text{et} \qquad (x \mid y) \leqslant \|x\| \cdot \|y\|,

donc ∥x+y∥2⩽(∥x∥+∥y∥)2\|x+y\|^2 \leqslant \left( \|x\| + \|y\| \right)^2, puis ∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.

On a l'égalité si et seulement si (x∣y)=∥x∥⋅∥y∥(x \mid y) = \|x\| \cdot \|y\|, c'est-à-dire xx et yy colinéaires et (x∣y)⩾0(x \mid y) \geqslant 0, ce qui est équivalent à : xx et yy sont positivement colinéaires.

Test 2

Pour tous x,y∈Ex, y \in E : ∥x+y∥=∥x∥+∥y∥\|x+y\| = \|x\| + \|y\| si et seulement si xx et yy sont colinéaires.

Proposition 4 : La distance associée est une distance

  1. ∀(x,y)∈E2,d(x,y)=0  ⟺  x=y\forall (x,y) \in E^2, \quad d(x,y) = 0 \iff x = y ;
  2. ∀(x,y)∈E2,d(x,y)=d(y,x)\forall (x,y) \in E^2, \quad d(x,y) = d(y,x) ;
  3. ∀(x,y,z)∈E3,d(x,y)+d(y,z)⩾d(x,z)\forall (x,y,z) \in E^3, \quad d(x,y) + d(y,z) \geqslant d(x,z).

Remarque :

  1. Pour tous x,y∈Ex, y \in E : ∣ ∥x∥−∥y∥ ∣⩽∥x−y∥\big|\, \|x\| - \|y\| \,\big| \leqslant \|x - y\|.
  2. Pour tous x,y,z∈Ex, y, z \in E : ∣ d(x,y)−d(x,z) ∣⩽d(y,z)\big|\, d(x,y) - d(x,z) \,\big| \leqslant d(y,z).