MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Bases orthonormées

Palier 0Palier 1Palier 1+Palier 2

Question

Dans R2\mathbb{R}^2 muni du produit scalaire canonique, la base canonique rend tous les calculs immédiats : coordonnées, produit scalaire, norme se lisent directement. Peut-on trouver, dans tout espace euclidien, une base qui joue ce rôle privilégié ?

Définition 1 : Base orthonormée

Une base orthonormée de EE est une base de EE qui est une famille orthonormée.

Exemple :

Les bases canoniques de Rn\mathbb{R}^n et de Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) sont des bases orthonormées.

Question

De telles bases existent-elles dans tout espace euclidien, ou seulement dans les exemples usuels ?

Proposition 1 : Existence de bases orthonormées

Tout espace euclidien possède une base orthonormée.

Démonstration :

Tout espace euclidien est de dimension finie, donc il possède une base. En appliquant le procédé de Gram-Schmidt à cette base, on obtient une base orthonormée.

Question

Concrètement, qu'apporte une base orthonormée ? Comment s'expriment les coordonnées, le produit scalaire et la norme dans une telle base ?

Proposition 2 : Calculs dans une base orthonormée

Soit B=(ei)i∈I\mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} une base orthonormée de EE. Soient x=∑i∈Iλi eix = \sum_{i \in I} \lambda_i\, e_i et y=∑i∈Iμi eiy = \sum_{i \in I} \mu_i\, e_i avec (λi)i∈I∈R(I)(\lambda_i)_{i \in I} \in \mathbb{R}^{(I)} et (μi)i∈I∈R(I)(\mu_i)_{i \in I} \in \mathbb{R}^{(I)}. Alors :

  1. Pour tout i∈Ii \in I, λi=(x∣ei)\lambda_i = (x \mid e_i). Ainsi x=∑i∈I(x∣ei) eix = \sum_{i \in I} (x \mid e_i)\, e_i ;
  2. (x∣y)=∑i∈Iλi μi=∑i∈I(x∣ei)(y∣ei)(x \mid y) = \sum_{i \in I} \lambda_i\, \mu_i = \sum_{i \in I} (x \mid e_i)(y \mid e_i) ;
  3. ∥x∥2=∑i∈Iλi2=∑i∈I(x∣ei)2\|x\|^2 = \sum_{i \in I} \lambda_i^2 = \sum_{i \in I} (x \mid e_i)^2.

Démonstration :

  1. Soit j∈Ij \in I. On a
(x∣ej)=(∑i∈Iλi ei | ej)=∑i∈Iλi (ei∣ej)=∑i∈Iλi δi,j,(x \mid e_j) = \left( \sum_{i \in I} \lambda_i\, e_i \,\middle|\, e_j \right) = \sum_{i \in I} \lambda_i\, (e_i \mid e_j) = \sum_{i \in I} \lambda_i\, \delta_{i,j},

donc (x∣ej)=λj(x \mid e_j) = \lambda_j, d'où x=∑i∈I(x∣ei) eix = \sum_{i \in I} (x \mid e_i)\, e_i.

  1. On a
(x∣y)=(∑i∈Iλi ei | ∑j∈Iμj ej)=∑(i,j)∈I2λi μj (ei∣ej)=∑i∈Iλi μi.(x \mid y) = \left( \sum_{i \in I} \lambda_i\, e_i \,\middle|\, \sum_{j \in I} \mu_j\, e_j \right) = \sum_{(i,j) \in I^2} \lambda_i\, \mu_j\, (e_i \mid e_j) = \sum_{i \in I} \lambda_i\, \mu_i.
  1. Il suffit de prendre y=xy = x dans le point précédent.

Corollaire 1 : Cas de la dimension finie

Soient (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) une base orthonormée de EE et x,y∈Ex, y \in E. Alors :

  1. x=∑i=1n(x∣ei) eix = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)\, e_i ;
  2. (x∣y)=∑i=1n(x∣ei)(y∣ei)(x \mid y) = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)(y \mid e_i) ;
  3. ∥x∥2=∑i=1n(x∣ei)2\|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)^2.

Démonstration :

C'est le cas particulier de la proposition précédente avec I=⟦1,n⟧I = \llbracket 1, n \rrbracket : toute famille indexée par un ensemble fini est à support fini, donc la proposition s'applique, et les sommes ∑i∈I\sum_{i \in I} deviennent des sommes finies ∑i=1n\sum_{i=1}^{n}.

Exemple :

Dans R2\mathbb{R}^2 euclidien canonique, posons

u1=12(1,1),u2=12(1,−1).u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1), \qquad u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1).

On vérifie que (u1,u2)(u_1, u_2) est une base orthonormée : ∥u1∥=∥u2∥=1\|u_1\| = \|u_2\| = 1 et (u1∣u2)=12(1−1)=0(u_1 \mid u_2) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0.

Soit x=(3,1)x = (3, 1). Les coordonnées de xx dans cette base s'obtiennent sans résoudre de système, par simple produit scalaire :

(x∣u1)=3+12=22,(x∣u2)=3−12=2.(x \mid u_1) = \frac{3 + 1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}, \qquad (x \mid u_2) = \frac{3 - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

On vérifie : 22 u1+2 u2=(2,2)+(1,−1)=(3,1)=x2\sqrt{2}\, u_1 + \sqrt{2}\, u_2 = (2, 2) + (1, -1) = (3, 1) = x. Et pour la norme :

∥x∥2=9+1=10=(22)2+(2)2.\|x\|^2 = 9 + 1 = 10 = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2.

Test 1

Si (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) est une base quelconque de EE, alors pour tout x∈Ex \in E, on a x=∑i=1n(x∣ei) eix = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)\, e_i.

Test 2

Si (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) est une base orthogonale de EE (non nécessairement normée), alors ∥x∥2=∑i=1n(x∣ei)2\|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (x \mid e_i)^2 pour tout x∈Ex \in E.

Test 3

Dans un espace euclidien de dimension nn, toute famille orthonormée de nn vecteurs est une base orthonormée.