MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Vecteurs orthogonaux et orthogonal d'une partie

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Dans toute cette section, EE désigne un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot).

Question

Dans le plan, on reconnaît deux directions perpendiculaires à l'angle droit qu'elles forment. Mais dans un espace de matrices ou de fonctions, qu'est-ce qu'un « angle droit » ? Le produit scalaire permet-il de définir la perpendicularité sans jamais parler d'angles ?

Définition 1 : Vecteur unitaire, vecteurs orthogonaux

  1. Un vecteur x∈Ex \in E est dit unitaire si ∥x∥=1\|x\| = 1.
  2. On dit que deux vecteurs xx et yy de EE sont orthogonaux si (x∣y)=0(x \mid y) = 0, et on note x⊥yx \perp y.

Remarque :

Le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur de EE.

Test 1

Il existe dans EE un vecteur non nul orthogonal à lui-même.

Exemple :

  1. Les éléments de la base canonique de Rn\mathbb{R}^n sont unitaires et deux à deux orthogonaux.
  2. Les éléments de la base canonique de Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) sont unitaires et orthogonaux pour le produit scalaire canonique. En effet, soient i,k∈⟦1,n⟧i, k \in \llbracket 1,n \rrbracket et j,l∈⟦1,p⟧j, l \in \llbracket 1,p \rrbracket. On a
(Ei,j(n,p) | Ek,l(n,p))=tr⁡((Ei,j(n,p))TEk,l(n,p))=tr⁡(Ej,i(p,n) Ek,l(n,p))=tr⁡(δi,k Ej,l(p,p))=δi,ktr⁡(Ej,l(p,p))=δi,k δj,l.\begin{aligned} \left( E_{i,j}^{(n,p)} \,\middle|\, E_{k,l}^{(n,p)} \right) &= \operatorname{tr}\left( \left( E_{i,j}^{(n,p)} \right)^{\mathsf{T}} E_{k,l}^{(n,p)} \right)\\ &= \operatorname{tr}\left( E_{j,i}^{(p,n)}\, E_{k,l}^{(n,p)} \right)\\ &= \operatorname{tr}\left( \delta_{i,k}\, E_{j,l}^{(p,p)} \right)\\ &= \delta_{i,k} \operatorname{tr}\left( E_{j,l}^{(p,p)} \right)\\ &= \delta_{i,k}\, \delta_{j,l}. \end{aligned}

Question

Le théorème de Pythagore est un résultat de géométrie élémentaire sur les triangles rectangles. Reste-t-il vrai dans un espace préhilbertien quelconque — et peut-on même en faire une caractérisation de l'orthogonalité ?

Proposition 1 : Théorème de Pythagore

Deux vecteurs xx et yy sont orthogonaux si et seulement si

∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2.

Démonstration :

Soient x,y∈Ex, y \in E. On a

∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2+2 (x∣y).\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\,(x \mid y).

Ainsi ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 si et seulement si 2 (x∣y)=02\,(x \mid y) = 0.

xyx + y
Théorème de Pythagore : lorsque x ⊥ y, le triangle de côtés ‖x‖, ‖y‖ et d'hypoténuse ‖x+y‖ est rectangle.

Test 2

Soient x,y,z∈Ex, y, z \in E. Si x⊥yx \perp y et x⊥zx \perp z, alors y⊥zy \perp z.

Question

On sait dire que deux vecteurs sont orthogonaux. Considérons maintenant l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à une partie donnée de EE : quelle structure cet ensemble possède-t-il ?

Définition 2 : Orthogonal d'une partie

Soit A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E). On appelle orthogonal de AA l'ensemble

A⊥={x∈E / ∀y∈A,x⊥y}.A^{\perp} = \left\{ x \in E \ / \ \forall y \in A, \quad x \perp y \right\}.

Proposition 2 : L'orthogonal est un sous-espace vectoriel

Pour tout A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E), A⊥A^{\perp} est un sous-espace vectoriel de EE.

Démonstration :

Soit A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E).

  • Pour tout a∈Aa \in A, (0E∣a)=0(0_E \mid a) = 0, donc 0E∈A⊥0_E \in A^{\perp}.
  • Soient x,y∈A⊥x, y \in A^{\perp} et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Soit a∈Aa \in A. On a
(a∣x+λy)=(a∣x)+λ (a∣y)=0,(a \mid x + \lambda y) = (a \mid x) + \lambda\,(a \mid y) = 0,

donc x+λy∈A⊥x + \lambda y \in A^{\perp}.

D'où A⊥A^{\perp} est un sous-espace vectoriel de EE.

Exemple :

{0E}⊥=E\{0_E\}^{\perp} = E \quad et \quad E⊥={0E}E^{\perp} = \{0_E\}.

Exercice 1 : Orthogonal d'un singleton

Soit a∈Ea \in E. Déterminer {a}⊥\{a\}^{\perp}.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit x∈Ex \in E. On a

x∈{a}⊥  ⟺  (x∣a)=0  ⟺  x∈Ker⁡φa,x \in \{a\}^{\perp} \iff (x \mid a) = 0 \iff x \in \operatorname{Ker} \varphi_a,

avec

φa ⁣:E⟶Rx⟼(x∣a)\varphi_a \colon \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & (x \mid a) \end{array}

Donc {a}⊥=Ker⁡φa\{a\}^{\perp} = \operatorname{Ker} \varphi_a.

Remarque :

Soit x∈Ex \in E. On a

x∈A⊥  ⟺  ∀a∈A, (x∣a)=0  ⟺  ∀a∈A, x∈Ker⁡φa  ⟺  x∈⋂a∈AKer⁡φa.x \in A^{\perp} \iff \forall a \in A, \ (x \mid a) = 0 \iff \forall a \in A, \ x \in \operatorname{Ker} \varphi_a \iff x \in \bigcap_{a \in A} \operatorname{Ker} \varphi_a.

D'où A⊥=⋂a∈AKer⁡φaA^{\perp} = \displaystyle\bigcap_{a \in A} \operatorname{Ker} \varphi_a.

Proposition 3 : L'orthogonal renverse les inclusions

Soient A,B∈P(E)A, B \in \mathcal{P}(E). Si A⊂BA \subset B, alors B⊥⊂A⊥B^{\perp} \subset A^{\perp}.

Démonstration :

On suppose que A⊂BA \subset B. Soit x∈B⊥x \in B^{\perp} ; alors pour tout y∈By \in B, (x∣y)=0(x \mid y) = 0. Donc pour tout y∈Ay \in A, (x∣y)=0(x \mid y) = 0. Ainsi x∈A⊥x \in A^{\perp}, d'où B⊥⊂A⊥B^{\perp} \subset A^{\perp}.

Test 3

Soient A,B∈P(E)A, B \in \mathcal{P}(E). Si A⊂BA \subset B, alors A⊥⊂B⊥A^{\perp} \subset B^{\perp}.

Proposition 4 : Orthogonal d'une partie et de son espace engendré

Soit A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E). Alors

A⊥=(vect⁡(A))⊥.A^{\perp} = \left( \operatorname{vect}(A) \right)^{\perp}.

Démonstration :

  • On a A⊂vect⁡(A)A \subset \operatorname{vect}(A), donc vect⁡(A)⊥⊂A⊥\operatorname{vect}(A)^{\perp} \subset A^{\perp}.
  • Soit x∈A⊥x \in A^{\perp}. Soit y∈vect⁡(A)y \in \operatorname{vect}(A) ; alors il existe (λi)1⩽i⩽n∈Rn(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^n et (ai)1⩽i⩽n∈An(a_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in A^n tels que y=∑i=1nλi aiy = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, a_i. On a
(x∣y)=(x | ∑i=1nλi ai)=∑i=1nλi (x∣ai)=0,(x \mid y) = \left( x \,\middle|\, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, a_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, (x \mid a_i) = 0,

ceci pour tout y∈vect⁡(A)y \in \operatorname{vect}(A), donc x∈vect⁡(A)⊥x \in \operatorname{vect}(A)^{\perp}, c'est-à-dire A⊥⊂vect⁡(A)⊥A^{\perp} \subset \operatorname{vect}(A)^{\perp}.

D'où A⊥=vect⁡(A)⊥A^{\perp} = \operatorname{vect}(A)^{\perp}.