MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Projection orthogonale

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Question

On sait qu'un sous-espace FF de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal, d'où la décomposition E=F⊕F⊥E = F \oplus F^{\perp}. Quelle est la projection associée à cette décomposition, pourquoi la dit-on « orthogonale », et en quoi le vecteur qu'elle produit est-il le meilleur représentant de xx dans FF ?

Définition 1 : Projection orthogonale

Soit FF un sous-espace vectoriel de dimension finie de EE. On appelle projection orthogonale sur FF la projection sur FF parallèlement à F⊥F^{\perp}. L'image d'un vecteur xx par ce projecteur est appelée le projeté orthogonal de xx sur FF.

Notation :

On note pFp_F la projection orthogonale sur FF et pF⊥p_{F^{\perp}} la projection orthogonale sur F⊥F^{\perp}.

Remarque :

  1. pF+pF⊥=id⁡Ep_F + p_{F^{\perp}} = \operatorname{id}_E ;
  2. y=pF(x)  ⟺  y∈Fy = p_F(x) \iff y \in F et x−y∈F⊥x - y \in F^{\perp}.

Proposition 1 : Caractérisation du projeté orthogonal

Soient (e1,…,ep)(e_1, \dots, e_p) une famille engendrant FF et x∈Ex \in E. Alors :

∀y∈F,(y=pF(x)  ⟺  ∀i∈⟦1,p⟧,(x−y∣ei)=0).\forall y \in F, \quad \left( y = p_F(x) \iff \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket, \quad (x - y \mid e_i) = 0 \right).

Démonstration :

Soit y∈Fy \in F. D'après la caractérisation vue en remarque, comme y∈Fy \in F :

y=pF(x)  ⟺  x−y∈F⊥.y = p_F(x) \iff x - y \in F^{\perp}.

Il suffit donc d'établir l'équivalence

x−y∈F⊥  ⟺  ∀i∈⟦1,p⟧,(x−y∣ei)=0.x - y \in F^{\perp} \iff \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket, \quad (x - y \mid e_i) = 0.

  • Si x−y∈F⊥x - y \in F^{\perp}, alors x−yx - y est orthogonal à tout vecteur de FF ; en particulier, chaque eie_i appartenant à FF, on a (x−y∣ei)=0(x - y \mid e_i) = 0 pour tout i∈⟦1,p⟧i \in \llbracket 1,p \rrbracket.

  • Supposons (x−y∣ei)=0(x - y \mid e_i) = 0 pour tout i∈⟦1,p⟧i \in \llbracket 1,p \rrbracket. Soit z∈Fz \in F. Comme (e1,…,ep)(e_1, \dots, e_p) engendre FF, il existe des scalaires λ1,…,λp\lambda_1, \dots, \lambda_p tels que z=∑i=1pλi eiz = \sum_{i=1}^{p} \lambda_i\, e_i. Par linéarité du produit scalaire :

(x−y∣z)=∑i=1pλi (x−y∣ei)=0.(x - y \mid z) = \sum_{i=1}^{p} \lambda_i\, (x - y \mid e_i) = 0.

Ceci valant pour tout z∈Fz \in F, on a x−y∈F⊥x - y \in F^{\perp}.

Par conséquent y=pF(x)  ⟺  ∀i∈⟦1,p⟧, (x−y∣ei)=0y = p_F(x) \iff \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket,\ (x - y \mid e_i) = 0.

Exercice 1 : Projection orthogonale dans ℝ[X]

Munissons R[X]\mathbb{R}[X] du produit scalaire défini par :

∀P,Q∈R[X],(P∣Q)=∫01P(t) Q(t) dt.\forall P, Q \in \mathbb{R}[X], \quad (P \mid Q) = \int_{0}^{1} P(t)\, Q(t)\, dt.

Soit F=vect⁡(1,X)F = \operatorname{vect}(1, X). Déterminer pF(X2)p_F(X^2).

Solution :(cliquer pour afficher)

On a pF(X2)∈Fp_F(X^2) \in F, donc il existe a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} tels que pF(X2)=a+bXp_F(X^2) = a + bX. On a :

{(X2−pF(X2) | 1)=0(X2−pF(X2) | X)=0donc{∫01(t2−bt−a)dt=0∫01(t2−bt−a)t dt=0\left\{ \begin{array}{l} \left( X^2 - p_F(X^2) \,\middle|\, 1 \right) = 0 \\[2mm] \left( X^2 - p_F(X^2) \,\middle|\, X \right) = 0 \end{array} \right. \qquad \text{donc} \qquad \left\{ \begin{array}{l} \int_0^1 \left( t^2 - bt - a \right) dt = 0 \\[2mm] \int_0^1 \left( t^2 - bt - a \right) t\, dt = 0 \end{array} \right.

donc

{[13 t3−b2 t2−a t]01=0[14 t4−b3 t3−12 a t2]01=0donc{13−12 b−a=014−13 b−12 a=0\left\{ \begin{array}{l} \left[ \frac{1}{3}\, t^3 - \frac{b}{2}\, t^2 - a\, t \right]_0^1 = 0 \\[2mm] \left[ \frac{1}{4}\, t^4 - \frac{b}{3}\, t^3 - \frac{1}{2}\, a\, t^2 \right]_0^1 = 0 \end{array} \right. \qquad \text{donc} \qquad \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\, b - a = 0 \\[2mm] \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\, b - \frac{1}{2}\, a = 0 \end{array} \right.

donc

{3b+6a=26a+4b=3donc{a=−16b=1\left\{ \begin{array}{l} 3b + 6a = 2 \\[1mm] 6a + 4b = 3 \end{array} \right. \qquad \text{donc} \qquad \left\{ \begin{array}{l} a = -\frac{1}{6} \\[1mm] b = 1 \end{array} \right.

Finalement

pF(X2)=X−16.p_F(X^2) = X - \frac{1}{6}.

Proposition 2 : Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée

Soient (e1,…,ep)(e_1, \dots, e_p) une base orthonormée de FF et x∈Ex \in E. Alors

pF(x)=∑i=1p(x∣ei) ei.p_F(x) = \sum_{i=1}^{p} (x \mid e_i)\, e_i.

Démonstration :

On a pF(x)∈Fp_F(x) \in F, donc

pF(x)=∑i=1p(pF(x) | ei)ei.p_F(x) = \sum_{i=1}^{p} \left( p_F(x) \,\middle|\, e_i \right) e_i.

Or pour tout i∈⟦1,p⟧i \in \llbracket 1,p \rrbracket,

(x−pF(x) | ei)=0,c’est-aˋ-dire(x∣ei)=(pF(x) | ei).\left( x - p_F(x) \,\middle|\, e_i \right) = 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad (x \mid e_i) = \left( p_F(x) \,\middle|\, e_i \right).

D'où pF(x)=∑i=1p(x∣ei) ei\displaystyle p_F(x) = \sum_{i=1}^{p} (x \mid e_i)\, e_i.

Proposition 3 : Projections orthogonales sur une droite et sur un hyperplan

Soit uu un vecteur non nul de EE. Notons D=vect⁡(u)D = \operatorname{vect}(u) et H=D⊥H = D^{\perp}. Alors, pour tout x∈Ex \in E :

pD(x)=(x∣u)∥u∥2 uetpH(x)=x−(x∣u)∥u∥2 u.p_D(x) = \frac{(x \mid u)}{\|u\|^2}\, u \qquad \text{et} \qquad p_H(x) = x - \frac{(x \mid u)}{\|u\|^2}\, u.

Démonstration :

(u∥u∥)\left( \dfrac{u}{\|u\|} \right) est une base orthonormée de DD. Donc, pour tout x∈Ex \in E, on a

pD(x)=(x | u∥u∥)⋅u∥u∥=(x∣u)∥u∥2 uetpH(x)=x−pD(x)=x−(x∣u)∥u∥2 u.p_D(x) = \left( x \,\middle|\, \frac{u}{\|u\|} \right) \cdot \frac{u}{\|u\|} = \frac{(x \mid u)}{\|u\|^2}\, u \qquad \text{et} \qquad p_H(x) = x - p_D(x) = x - \frac{(x \mid u)}{\|u\|^2}\, u.

Proposition 4 : Inégalité de Bessel

Soit FF un sous-espace vectoriel de EE de dimension finie. Pour tout x∈Ex \in E :

∥pF(x)∥⩽∥x∥.\left\| p_F(x) \right\| \leqslant \|x\|.

Démonstration :

Soit x∈Ex \in E.

FOpF(x)x
Décomposition orthogonale de x relativement au sous-espace F.

On a

x=pF(x)+(x−pF(x))etpF(x)⊥(x−pF(x)).x = p_F(x) + \left( x - p_F(x) \right) \qquad \text{et} \qquad p_F(x) \perp \left( x - p_F(x) \right).

D'après le théorème de Pythagore :

∥x∥2=∥pF(x)∥2+∥x−pF(x)∥2.\|x\|^2 = \left\| p_F(x) \right\|^2 + \left\| x - p_F(x) \right\|^2.

Ainsi ∥x∥⩾∥pF(x)∥\|x\| \geqslant \left\| p_F(x) \right\|.