MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Familles orthogonales et orthonormées

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Question

Dans une base quelconque, calculer les coordonnées d'un vecteur oblige à résoudre un système linéaire. Existe-t-il des familles de vecteurs pour lesquelles tout se calcule directement à coups de produits scalaires — coordonnées, normes, distances ? Et peut-on toujours fabriquer de telles familles ?

Définition 1 : Familles orthogonales et orthonormées

  1. On appelle famille orthogonale toute famille de vecteurs deux à deux orthogonaux.
  2. On appelle famille orthonormée toute famille orthogonale de vecteurs unitaires.

Exemple :

Dans Rn\mathbb{R}^n muni du produit scalaire canonique, la base canonique (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) est une famille orthonormée : (ei∣ej)=δi,j(e_i \mid e_j) = \delta_{i,j} pour tous i,j∈⟦1,n⟧i, j \in \llbracket 1,n \rrbracket.

Question

Une famille orthogonale peut-elle être liée ? Autrement dit, l'orthogonalité deux à deux impose-t-elle l'indépendance linéaire ?

Proposition 1 : Liberté des familles orthogonales

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, toute famille orthonormée est libre.

Démonstration :

Soit (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Soit (λi)i∈I∈R(I)(\lambda_i)_{i \in I} \in \mathbb{R}^{(I)} telle que ∑i∈Iλi xi=0E\sum_{i \in I} \lambda_i\, x_i = 0_E. Pour tout j∈Ij \in I, on a

(xj | ∑i∈Iλi xi)=0,donc∑i∈Iλi (xj∣xi)=0,\left( x_j \,\middle|\, \sum_{i \in I} \lambda_i\, x_i \right) = 0, \qquad \text{donc} \qquad \sum_{i \in I} \lambda_i\, (x_j \mid x_i) = 0,

alors λj ∥xj∥2=0\lambda_j\, \|x_j\|^2 = 0. Or xj≠0Ex_j \neq 0_E, donc λj=0\lambda_j = 0 pour tout j∈Ij \in I. D'où (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} est libre.

Test 1

Toute famille orthogonale est libre.

Question

Le théorème de Pythagore relie ∥x+y∥2\|x+y\|^2 à ∥x∥2+∥y∥2\|x\|^2 + \|y\|^2 pour deux vecteurs orthogonaux. Que devient-il pour une somme de nn vecteurs deux à deux orthogonaux ?

Proposition 2 : Théorème de Pythagore généralisé

Soit (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n) une famille orthogonale. Alors

∥∑i=1nxi∥2=∑i=1n∥xi∥2.\left\| \sum_{i=1}^{n} x_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^{n} \|x_i\|^2.

Démonstration :

On a

∥∑i=1nxi∥2=(∑i=1nxi | ∑i=1nxi)=∑1⩽i,j⩽n(xi∣xj)=∑i=1n∥xi∥2.\begin{aligned} \left\| \sum_{i=1}^{n} x_i \right\|^2 &= \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \,\middle|\, \sum_{i=1}^{n} x_i \right)\\ &= \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} (x_i \mid x_j)\\ &= \sum_{i=1}^{n} \|x_i\|^2. \end{aligned}

Test 2

Soient xx, yy, zz trois vecteurs de EE tels que ∥x+y+z∥2=∥x∥2+∥y∥2+∥z∥2\|x+y+z\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + \|z\|^2. Alors la famille (x,y,z)(x,y,z) est orthogonale.

Question

Une famille libre quelconque n'a aucune raison d'être orthonormée. Peut-on la « redresser » en une famille orthonormée, sans changer les sous-espaces qu'elle engendre au fur et à mesure ?

Théorème 1 : Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit F=(f1,…,fn)\mathcal{F} = (f_1, \dots, f_n) une famille libre. Alors il existe une famille orthonormale (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) telle que pour tout k∈⟦1,n⟧k \in \llbracket 1,n \rrbracket :

vect⁡(f1,…,fk)=vect⁡(e1,…,ek).\operatorname{vect}(f_1, \dots, f_k) = \operatorname{vect}(e_1, \dots, e_k).

Démonstration :

Construisons (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) par récurrence.

  • On pose e1=f1∥f1∥e_1 = \dfrac{f_1}{\|f_1\|}.
  • Soit k∈⟦1,n−1⟧k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket. On suppose qu'on a construit (e1,…,ek)(e_1, \dots, e_k) orthonormale telle que vect⁡(e1,…,ep)=vect⁡(f1,…,fp)\operatorname{vect}(e_1, \dots, e_p) = \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_p) pour tout p∈⟦1,k⟧p \in \llbracket 1,k \rrbracket.
vect(e1, …, ek)fk+1gk+1Σi (fk+1 ∣ ei) ei
Construction de gₖ₊₁ : on retire à fₖ₊₁ sa projection sur vect(e₁, …, eₖ).

On pose

gk+1=fk+1−∑i=1k(fk+1∣ei) ei.g_{k+1} = f_{k+1} - \sum_{i=1}^{k} (f_{k+1} \mid e_i)\, e_i.

Soit j∈⟦1,k⟧j \in \llbracket 1,k \rrbracket. On a

(gk+1∣ej)=(fk+1∣ej)−∑i=1k(fk+1∣ei) (ei∣ej)=(fk+1∣ej)−∑i=1k(fk+1∣ei) δi,j=(fk+1∣ej)−(fk+1∣ej)=0.\begin{aligned} (g_{k+1} \mid e_j) &= (f_{k+1} \mid e_j) - \sum_{i=1}^{k} (f_{k+1} \mid e_i)\,(e_i \mid e_j)\\ &= (f_{k+1} \mid e_j) - \sum_{i=1}^{k} (f_{k+1} \mid e_i)\, \delta_{i,j}\\ &= (f_{k+1} \mid e_j) - (f_{k+1} \mid e_j) = 0. \end{aligned}

On a fk+1∉vect⁡(f1,…,fk)=vect⁡(e1,…,ek)f_{k+1} \notin \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_k) = \operatorname{vect}(e_1, \dots, e_k), car (f1,…,fk+1)(f_1, \dots, f_{k+1}) est libre, donc gk+1≠0Eg_{k+1} \neq 0_E. On pose

ek+1=gk+1∥gk+1∥.e_{k+1} = \frac{g_{k+1}}{\|g_{k+1}\|}.

On a vect⁡(e1,…,ek)=vect⁡(f1,…,fk)\operatorname{vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_k) et ek+1=gk+1∥gk+1∥∈vect⁡(f1,…,fk+1)e_{k+1} = \dfrac{g_{k+1}}{\|g_{k+1}\|} \in \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_{k+1}), donc

vect⁡(e1,…,ek+1)⊂vect⁡(f1,…,fk+1).\operatorname{vect}(e_1, \dots, e_{k+1}) \subset \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_{k+1}).

Or fk+1∈vect⁡(e1,…,ek+1)f_{k+1} \in \operatorname{vect}(e_1, \dots, e_{k+1}), donc

vect⁡(f1,…,fk+1)⊂vect⁡(e1,…,ek+1).\operatorname{vect}(f_1, \dots, f_{k+1}) \subset \operatorname{vect}(e_1, \dots, e_{k+1}).

D'où vect⁡(f1,…,fk+1)=vect⁡(e1,…,ek+1)\operatorname{vect}(f_1, \dots, f_{k+1}) = \operatorname{vect}(e_1, \dots, e_{k+1}).

Ainsi (e1,…,ek+1)(e_1, \dots, e_{k+1}) est orthonormale et vect⁡(e1,…,ep)=vect⁡(f1,…,fp)\operatorname{vect}(e_1, \dots, e_p) = \operatorname{vect}(f_1, \dots, f_p) pour tout p∈⟦1,k+1⟧p \in \llbracket 1, k+1 \rrbracket.

Exercice 1 : Procédé de Gram-Schmidt

Soit F=((1,1), (1,2))\mathcal{F} = \left( (1,1),\ (1,2) \right) une famille de R2\mathbb{R}^2 muni du produit scalaire canonique. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille libre F\mathcal{F}.

Solution :(cliquer pour afficher)

On pose

e1=1∥(1,1)∥ (1,1)=12 (1,1).e_1 = \frac{1}{\|(1,1)\|}\,(1,1) = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1).

Soit

g2=(1,2)−((1,2) | 12 (1,1))⋅12 (1,1)=(1,2)−12 (1+2)⋅(1,1)=(1,2)−(32, 32)=(−12, 12).\begin{aligned} g_2 &= (1,2) - \left( (1,2) \,\middle|\, \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1) \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1)\\ &= (1,2) - \frac{1}{2}\,(1+2) \cdot (1,1)\\ &= (1,2) - \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)\\ &= \left( -\frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right). \end{aligned}

Or ∥g2∥=14+14=12\|g_2\| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, donc

e2=12 (−1,1).e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(-1,1).

Corollaire 1 : Cas d'une famille libre dénombrable

Soit (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une famille libre de EE. Alors il existe une famille orthonormée (en)n∈N(e_n)_{n \in \mathbb{N}} de EE telle que pour tout p∈Np \in \mathbb{N} :

vect⁡(e0,…,ep)=vect⁡(f0,…,fp).\operatorname{vect}(e_0, \dots, e_p) = \operatorname{vect}(f_0, \dots, f_p).

Remarque :

La construction de la famille (en)n∈N(e_n)_{n \in \mathbb{N}} se fait par le procédé de Gram-Schmidt :

e0=f0∥f0∥,gk+1=fk+1−∑i=0k(fk+1∣ei) eietek+1=gk+1∥gk+1∥.e_0 = \frac{f_0}{\|f_0\|}, \qquad g_{k+1} = f_{k+1} - \sum_{i=0}^{k} (f_{k+1} \mid e_i)\, e_i \qquad \text{et} \qquad e_{k+1} = \frac{g_{k+1}}{\|g_{k+1}\|}.