Les Matheux — Comprendre avant d'apprendre

Exemple :

Dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, la base canonique $(e_1, \dots, e_n)$ est orthonormée : chaque vecteur est unitaire et deux vecteurs distincts sont orthogonaux, ce qui se résume en $(e_i \mid e_j) = \delta_{i,j}$ . C'est la formule à retenir pour reconnaître une famille orthonormée. Comment le vérifier sur une famille moins évidente ?

Exemple :

Dans $\mathbb{R}^3$ , la famille $\big((1,1,1),\ (1,-1,0),\ (1,1,-2)\big)$ est orthogonale : ses trois produits scalaires croisés valent $0$ . Ses vecteurs sont non nuls, donc elle est libre — sans passer par un déterminant. Sur une famille donnée, comment mener la vérification proprement ?

Rédaction — Procédé de Gram-Schmidt :

Partant d'une famille libre $(f_1, \dots, f_n)$ , on construit une famille orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ étape par étape.

Normaliser le premier vecteur : $\displaystyle e_1 = \frac{f_1}{\|f_1\|}$ .
Redresser : à chaque étape, retirer à $f_{k+1}$ ses projections sur les vecteurs déjà construits :

g_{k+1} = f_{k+1} - \sum_{i=1}^{k} (f_{k+1} \mid e_i)\, e_i.

Normaliser : $\displaystyle e_{k+1} = \frac{g_{k+1}}{\|g_{k+1}\|}$ , puis reprendre l'étape 2 avec $k+1$ .

Cas le plus fréquent, deux vecteurs :

e_1 = \frac{f_1}{\|f_1\|}, \qquad g_2 = f_2 - (f_2 \mid e_1)\, e_1, \qquad e_2 = \frac{g_2}{\|g_2\|}.

Familles orthogonales et orthonormées