MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Vecteurs orthogonaux et orthogonal d'une partie

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Dans toute la leçon, EE désigne un espace préhilbertien réel, muni d'un produit scalaire noté (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot), et ∥⋅∥\|\cdot\| la norme associée.

Question

Dans le plan, deux directions sont perpendiculaires quand elles forment un angle droit. Mais face à deux vecteurs concrets — dans Rn\mathbb{R}^n, dans un espace de matrices ou de polynômes — comment décider s'ils sont orthogonaux ? Et comment déterminer, d'un seul coup, tous les vecteurs orthogonaux à une partie donnée ?

Orthogonalité de deux vecteurs

Définition 1 : Vecteur unitaire, vecteurs orthogonaux

Soient x,y∈Ex, y \in E.

  1. xx est dit unitaire si ∥x∥=1\|x\| = 1.
  2. xx et yy sont dits orthogonaux si (x∣y)=0(x \mid y) = 0. On note alors x⊥yx \perp y.

Exemple :

Les vecteurs de la base canonique de Rn\mathbb{R}^n sont unitaires et deux à deux orthogonaux (de même pour la base canonique de Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})). Comment le vérifier concrètement sur deux vecteurs donnés ?

Rédaction — Décider si deux vecteurs sont orthogonaux :

  1. Calcule le produit scalaire (x∣y)(x \mid y).
  2. Si (x∣y)=0(x \mid y) = 0, alors x⊥yx \perp y ; sinon, ils ne sont pas orthogonaux.

Exercice 1 : Orthogonalité de deux vecteurs

Dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique, les vecteurs u=(2,−1,3)u = (2, -1, 3) et v=(1,5,1)v = (1, 5, 1) sont-ils orthogonaux ?

Solution :(cliquer pour afficher)

On calcule

(u∣v)=2×1+(−1)×5+3×1=2−5+3=0.(u \mid v) = 2 \times 1 + (-1) \times 5 + 3 \times 1 = 2 - 5 + 3 = 0.

Donc u⊥vu \perp v : les deux vecteurs sont orthogonaux.

Le théorème de Pythagore

Proposition 1 : Théorème de Pythagore

Deux vecteurs xx et yy sont orthogonaux si et seulement si

∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2.
xyx + y
Théorème de Pythagore : lorsque x ⊥ y, le triangle de côtés ‖x‖, ‖y‖ et d'hypoténuse ‖x+y‖ est rectangle.

Exercice 2 : Théorème de Pythagore en pratique

Soient xx et yy deux vecteurs orthogonaux de EE, tels que ∥x∥=6\|x\| = 6 et ∥y∥=8\|y\| = 8. Calculer ∥x+y∥\|x + y\|.

Solution :(cliquer pour afficher)

Comme x⊥yx \perp y, le théorème de Pythagore donne

∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2=36+64=100,\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 = 36 + 64 = 100,

d'où ∥x+y∥=10\|x+y\| = 10.

L'orthogonal d'une partie

Définition 2 : Orthogonal d'une partie

Soit A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E). On appelle orthogonal de AA l'ensemble

A⊥={x∈E / ∀y∈A,x⊥y}.A^{\perp} = \left\{ x \in E \ / \ \forall y \in A, \quad x \perp y \right\}.

C'est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de AA.

Exemple :

{0E}⊥=E\{0_E\}^{\perp} = E \quad et \quad E⊥={0E}E^{\perp} = \{0_E\} : le seul vecteur orthogonal à tout l'espace est le vecteur nul. Et pour une partie quelconque, comment déterminer son orthogonal ?

Proposition 2 : Propriétés de l'orthogonal

Soit A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E).

  1. A⊥A^{\perp} est un sous-espace vectoriel de EE.
  2. A⊥=(vect⁡(A))⊥A^{\perp} = \left( \operatorname{vect}(A) \right)^{\perp} : il suffit d'imposer l'orthogonalité aux vecteurs d'une famille génératrice de vect⁡(A)\operatorname{vect}(A).

Rédaction — Déterminer l'orthogonal d'une partie :

Pour déterminer A⊥A^{\perp} :

  1. Remplace AA par une famille génératrice (a1,…,ap)(a_1, \dots, a_p) de vect⁡(A)\operatorname{vect}(A) — inutile de traiter tous les vecteurs de AA, les générateurs suffisent (car A⊥=vect⁡(A)⊥A^{\perp} = \operatorname{vect}(A)^{\perp}).
  2. Écris qu'un vecteur xx est orthogonal à chaque générateur : (x∣a1)=0, …, (x∣ap)=0(x \mid a_1) = 0, \ \dots, \ (x \mid a_p) = 0.
  3. Résous ce système linéaire : l'ensemble des solutions est A⊥A^{\perp} (c'est un sous-espace vectoriel de EE).

Exercice 3 : Orthogonal d'une partie

Dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique, déterminer A⊥A^{\perp} où A={a1,a2}A = \{a_1, a_2\} avec a1=(1,0,1)a_1 = (1, 0, 1) et a2=(0,1,1)a_2 = (0, 1, 1).

Solution :(cliquer pour afficher)

Comme A⊥=vect⁡(A)⊥A^{\perp} = \operatorname{vect}(A)^{\perp}, un vecteur x=(x1,x2,x3)x = (x_1, x_2, x_3) est dans A⊥A^{\perp} si et seulement s'il est orthogonal à a1a_1 et à a2a_2 :

(x∣a1)=0et(x∣a2)=0  ⟺  {x1+x3=0x2+x3=0.(x \mid a_1) = 0 \quad \text{et} \quad (x \mid a_2) = 0 \iff \begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0. \end{cases}

On en tire x1=−x3x_1 = -x_3 et x2=−x3x_2 = -x_3. En posant t=x3t = x_3, on obtient x=t (−1,−1,1)x = t\,(-1, -1, 1). Ainsi

A⊥=vect⁡((−1,−1,1)),A^{\perp} = \operatorname{vect}\big( (-1, -1, 1) \big),

c'est-à-dire une droite vectorielle.