MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Produit scalaire

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Ici, EE désigne un espace vectoriel réel.

Question

Tu sais déjà calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} dans le plan. Sur un espace plus général — Rn\mathbb{R}^n, des matrices, des fonctions — comment décider si une application φ(x,y)\varphi(x,y) est, elle aussi, un produit scalaire ? Quelles vérifications mener, et dans quel ordre ?

Définition 1 : Produit scalaire

Un produit scalaire sur EE est une application φ ⁣:E×E→R\varphi \colon E \times E \to \mathbb{R} qui vérifie les trois propriétés suivantes :

  1. bilinéaire — à variable fixée, elle est linéaire par rapport à l'autre :
φ(x, y+λy′)=φ(x,y)+λ φ(x,y′)(et de meˆme en la premieˋre variable) ;\varphi(x,\, y + \lambda y') = \varphi(x,y) + \lambda\,\varphi(x,y') \qquad \text{(et de même en la première variable) ;}
  1. symétrique — φ(x,y)=φ(y,x)\varphi(x,y) = \varphi(y,x) pour tous x,y∈Ex, y \in E ;
  2. définie positive — φ(x,x)⩾0\varphi(x,x) \geqslant 0 pour tout x∈Ex \in E, avec φ(x,x)=0\varphi(x,x) = 0 uniquement pour x=0Ex = 0_E.

On le note ⟨x∣y⟩\langle x \mid y \rangle, (x∣y)(x \mid y) ou x⋅yx \cdot y.

Définition 2 : Espace préhilbertien réel, espace euclidien

  • Un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien réel.
  • S'il est en plus de dimension finie, on l'appelle espace euclidien.

Rédaction :

Pour montrer qu'une application φ ⁣:E×E→R\varphi \colon E \times E \to \mathbb{R} est un produit scalaire, on vérifie les trois propriétés dans cet ordre pratique. Déroulons la méthode sur l'exemple de référence : Rn\mathbb{R}^n, avec X=(x1,…,xn)X = (x_1, \dots, x_n), Y=(y1,…,yn)Y = (y_1, \dots, y_n) et

φ(X,Y)=∑i=1nxi yi.\varphi(X,Y) = \sum_{i=1}^{n} x_i\, y_i.

Étape 1 — Symétrie. On échange XX et YY :

φ(Y,X)=∑i=1nyi xi=∑i=1nxi yi=φ(X,Y).\varphi(Y,X) = \sum_{i=1}^{n} y_i\, x_i = \sum_{i=1}^{n} x_i\, y_i = \varphi(X,Y).

C'est symétrique. On commence souvent par là : une fois la symétrie acquise, il suffit de vérifier la linéarité en une seule variable.

Étape 2 — Bilinéarité. Vu la symétrie, on ne traite que la seconde variable. Pour λ∈R\lambda \in \mathbb{R} et Z=(zi)Z = (z_i) :

φ(X, Y+λZ)=∑i=1nxi (yi+λzi)=∑i=1nxiyi+λ∑i=1nxizi=φ(X,Y)+λ φ(X,Z).\varphi(X,\, Y + \lambda Z) = \sum_{i=1}^{n} x_i\,(y_i + \lambda z_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i z_i = \varphi(X,Y) + \lambda\,\varphi(X,Z).

Linéaire en la seconde variable, donc — avec la symétrie — bilinéaire.

Étape 3 — Définie positive. On calcule φ(X,X)\varphi(X,X) :

φ(X,X)=∑i=1nxi 2⩾0,\varphi(X,X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^{\,2} \geqslant 0,

comme somme de carrés. Et φ(X,X)=0\varphi(X,X) = 0 force chaque xi=0x_i = 0, c'est-à-dire X=0X = 0.

Les trois propriétés tiennent : φ\varphi est un produit scalaire. C'est le produit scalaire canonique de Rn\mathbb{R}^n, celui que tu utiliseras par défaut.

Exemple :

  1. Dans R3\mathbb{R}^3 muni de son produit scalaire canonique :
⟨(1,2,3)∣(4,−1,2)⟩=1×4+2×(−1)+3×2=8.\langle (1,2,3) \mid (4,-1,2) \rangle = 1 \times 4 + 2 \times (-1) + 3 \times 2 = 8.

On multiplie coordonnée par coordonnée, puis on somme.

  1. Sur l'espace des matrices Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), l'application ⟨A∣B⟩=tr⁡(ATB)\langle A \mid B \rangle = \operatorname{tr}(A^{\mathsf{T}} B) est un produit scalaire : le produit scalaire canonique des matrices. Comment le vérifier ? Les trois mêmes étapes que sur Rn\mathbb{R}^n.

  2. Sur C([a,b],R)\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}), l'espace des fonctions continues, ⟨f∣g⟩=∫abf(t) g(t) dt\langle f \mid g \rangle = \displaystyle\int_a^b f(t)\, g(t)\, dt est un produit scalaire — celui qui sert à mesurer longueurs et angles… de fonctions. Comment le vérifier ? Toujours les trois mêmes étapes.

Exercice 1 : Un produit scalaire non canonique sur ℝ²

Pour X=(x1,x2)X = (x_1, x_2) et Y=(y1,y2)Y = (y_1, y_2) dans R2\mathbb{R}^2, on pose

φ(X,Y)=x1y1+x1y2+x2y1+2 x2y2.\varphi(X,Y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 2\, x_2 y_2.

Montrer que φ\varphi est un produit scalaire sur R2\mathbb{R}^2. (Applique les trois étapes de la méthode.)

Solution :(cliquer pour afficher)

On suit les trois étapes.

Symétrie. En échangeant XX et YY :

φ(Y,X)=y1x1+y1x2+y2x1+2 y2x2=φ(X,Y).\varphi(Y,X) = y_1 x_1 + y_1 x_2 + y_2 x_1 + 2\, y_2 x_2 = \varphi(X,Y).

Bilinéarité. Chaque terme xiyjx_i y_j est linéaire en XX (à YY fixé) et en YY (à XX fixé) ; φ\varphi en est une combinaison linéaire, donc φ\varphi est bilinéaire.

Définie positive. Pour X=(x1,x2)X = (x_1, x_2) :

φ(X,X)=x12+2 x1x2+2 x22=(x1+x2)2+x22⩾0.\varphi(X,X) = x_1^2 + 2\, x_1 x_2 + 2\, x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 \geqslant 0.

De plus, φ(X,X)=0  ⟺  x1+x2=0\varphi(X,X) = 0 \iff x_1 + x_2 = 0 et x2=0  ⟺  X=0x_2 = 0 \iff X = 0.

Les trois propriétés sont vérifiées : φ\varphi est un produit scalaire sur R2\mathbb{R}^2.