MPSI · Espaces préhilbertiens réels

Produit scalaire

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Dans tout ce chapitre, EE désigne un espace vectoriel réel.

Question

Dans le plan et dans l'espace, le produit scalaire permet de mesurer des longueurs et des angles. Peut-on définir un « produit scalaire » sur des espaces vectoriels plus généraux — un espace de matrices, un espace de fonctions ? Quelles propriétés minimales faut-il exiger d'une application φ(x,y)\varphi(x,y) pour qu'elle mérite ce nom ?

Définition 1 : Formes bilinéaires

  1. On appelle forme bilinéaire sur EE toute application φ ⁣:E×E⟶R\varphi \colon E \times E \longrightarrow \mathbb{R} telle que :
    • pour tout x∈Ex \in E, l'application y⟼φ(x,y)y \longmapsto \varphi(x,y) est linéaire ;
    • pour tout y∈Ey \in E, l'application x⟼φ(x,y)x \longmapsto \varphi(x,y) est linéaire.
  2. Une forme bilinéaire φ\varphi est dite symétrique si pour tout (x,y)∈E×E(x,y) \in E \times E : φ(x,y)=φ(y,x)\varphi(x,y) = \varphi(y,x).
  3. Une forme bilinéaire φ\varphi est dite positive si pour tout x∈Ex \in E : φ(x,x)⩾0\varphi(x,x) \geqslant 0. Si de plus φ(x,x)=0\varphi(x,x) = 0 si et seulement si x=0x = 0, on dit que φ\varphi est définie positive.

Définition 2 : Produit scalaire

Un produit scalaire sur EE est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive sur EE.

Notation :

Le produit scalaire de xx et yy se note généralement ⟨x∣y⟩\langle x \mid y \rangle, (x∣y)(x \mid y) ou x⋅yx \cdot y.

Test 1

Toute forme bilinéaire symétrique et positive sur EE est un produit scalaire.

Proposition 1 : Produits scalaires usuels

  1. L'application
φ ⁣:Rn×Rn⟶R(X,Y)⟼∑i=1nxi yi=XTY\varphi \colon \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (X,Y) & \longmapsto & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\, y_i = X^{\mathsf{T}} Y \end{array}

est un produit scalaire sur Rn\mathbb{R}^n, appelé produit scalaire canonique de Rn\mathbb{R}^n. 2. L'application

ψ ⁣:Mn,p(R)×Mn,p(R)⟶R(A,B)⟼tr⁡(ATB)\psi \colon \begin{array}{ccl} \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (A,B) & \longmapsto & \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} B \right) \end{array}

est un produit scalaire sur Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), appelé produit scalaire canonique sur Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}). 3. L'application

ϕ ⁣:C([a,b],R)2⟶R(f,g)⟼∫abf(t) g(t) dt\phi \colon \begin{array}{ccl} \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (f,g) & \longmapsto & \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\, g(t)\, dt \end{array}

est un produit scalaire sur C([a,b],R)\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}).

Démonstration :

  1. Soient X=(xi)1⩽i⩽nX = (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} et Y=(yi)1⩽i⩽nY = (y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} deux éléments de Rn\mathbb{R}^n.
    • On a XTY=∑i=1nxi yi=∑i=1nyi xi=YTXX^{\mathsf{T}} Y = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\, y_i = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i\, x_i = Y^{\mathsf{T}} X, donc φ\varphi est symétrique.
    • Soient λ∈R\lambda \in \mathbb{R} et Z=(zi)1⩽i⩽nZ = (z_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}. On a
φ(X,Y+λZ)=XT(Y+λZ)=XTY+λ XTZ=φ(X,Y)+λ φ(X,Z).\varphi(X, Y + \lambda Z) = X^{\mathsf{T}} \left( Y + \lambda Z \right) = X^{\mathsf{T}} Y + \lambda\, X^{\mathsf{T}} Z = \varphi(X,Y) + \lambda\, \varphi(X,Z).

Donc, compte tenu de la symétrie, φ\varphi est une forme bilinéaire.

  • On a φ(X,X)=∑i=1nxi2⩾0\varphi(X,X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \geqslant 0, et φ(X,X)=0\varphi(X,X) = 0 si et seulement si X=0X = 0. Donc φ\varphi est définie positive.
  • Conclusion : φ\varphi est un produit scalaire sur Rn\mathbb{R}^n.
  1. Soient A=(ai,j)A = (a_{i,j}), B=(bi,j)B = (b_{i,j}), C=(ci,j)C = (c_{i,j}) dans Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • On a
ψ(A,B)=tr⁡(ATB)=tr⁡((ATB)T)=tr⁡(BTA)=ψ(B,A),\psi(A,B) = \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} B \right) = \operatorname{tr}\left( \left( A^{\mathsf{T}} B \right)^{\mathsf{T}} \right) = \operatorname{tr}\left( B^{\mathsf{T}} A \right) = \psi(B,A),

donc ψ\psi est symétrique.

  • On a
ψ(A,B+λC)=tr⁡(AT(B+λC))=tr⁡(ATB+λ ATC)=tr⁡(ATB)+λtr⁡(ATC)=ψ(A,B)+λ ψ(A,C).\psi(A, B + \lambda C) = \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} \left( B + \lambda C \right) \right) = \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} B + \lambda\, A^{\mathsf{T}} C \right) = \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} B \right) + \lambda \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} C \right) = \psi(A,B) + \lambda\, \psi(A,C).

Donc, compte tenu de la symétrie, ψ\psi est une forme bilinéaire sur Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}).

  • On a
ψ(A,A)=tr⁡(ATA)=∑i=1p[ATA]i,i=∑i=1p∑j=1n[AT]i,j[A]j,i=∑i=1p∑j=1naj,i2⩾0,\psi(A,A) = \operatorname{tr}\left( A^{\mathsf{T}} A \right) = \sum_{i=1}^{p} \left[ A^{\mathsf{T}} A \right]_{i,i} = \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{n} \left[ A^{\mathsf{T}} \right]_{i,j} \left[ A \right]_{j,i} = \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{n} a_{j,i}^2 \geqslant 0,

et ψ(A,A)=0\psi(A,A) = 0 si et seulement si aj,i=0a_{j,i} = 0 pour tout (i,j)∈⟦1,p⟧×⟦1,n⟧(i,j) \in \llbracket 1,p \rrbracket \times \llbracket 1,n \rrbracket, c'est-à-dire A=0A = 0. Donc ψ\psi est définie positive.

  • Conclusion : ψ\psi est un produit scalaire sur Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}).
  1. Soient f,g,h∈C([a,b],R)f, g, h \in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • On a ϕ(f,g)=∫abf(t) g(t) dt=∫abg(t) f(t) dt=ϕ(g,f)\phi(f,g) = \displaystyle\int_a^b f(t)\, g(t)\, dt = \displaystyle\int_a^b g(t)\, f(t)\, dt = \phi(g,f), donc ϕ\phi est symétrique.
    • On a
ϕ(f,g+λh)=∫abf(t)(g(t)+λ h(t))dt=∫abf(t) g(t) dt+λ∫abf(t) h(t) dt=ϕ(f,g)+λ ϕ(f,h).\phi(f, g + \lambda h) = \int_a^b f(t) \left( g(t) + \lambda\, h(t) \right) dt = \int_a^b f(t)\, g(t)\, dt + \lambda \int_a^b f(t)\, h(t)\, dt = \phi(f,g) + \lambda\, \phi(f,h).

Donc, compte tenu de la symétrie, ϕ\phi est une forme bilinéaire.

  • On a ϕ(f,f)=∫abf(t)2 dt⩾0\phi(f,f) = \displaystyle\int_a^b f(t)^2\, dt \geqslant 0, et ϕ(f,f)=0\phi(f,f) = 0 si et seulement si f=0f = 0, car f2⩾0f^2 \geqslant 0 et f2f^2 est continue.
  • Conclusion : ϕ\phi est un produit scalaire sur C([a,b],R)\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}).

Test 2

Si (⋅∣⋅)(\cdot \mid \cdot) est un produit scalaire sur EE, alors pour tout x∈Ex \in E : (x∣0E)=0(x \mid 0_E) = 0.

Définition 3 : Espace préhilbertien réel, espace euclidien

Un espace préhilbertien réel est un R\mathbb{R}-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

Si de plus l'espace vectoriel est de dimension finie, on dit qu'il est un espace euclidien.

Remarque :

  1. Un espace euclidien est un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
  2. Si FF est un sous-espace vectoriel de EE et EE est un espace préhilbertien réel, alors FF est un espace préhilbertien réel.

Exercice 1 : Un produit scalaire non canonique sur ℝ²

Pour X=(x1,x2)X = (x_1, x_2) et Y=(y1,y2)Y = (y_1, y_2) dans R2\mathbb{R}^2, on pose

φ(X,Y)=x1y1+x1y2+x2y1+2 x2y2.\varphi(X,Y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 2\, x_2 y_2.

Montrer que φ\varphi est un produit scalaire sur R2\mathbb{R}^2.

Solution :(cliquer pour afficher)
  • Bilinéarité : chacune des applications (X,Y)⟼xi yj(X,Y) \longmapsto x_i\, y_j est linéaire en XX à YY fixé et linéaire en YY à XX fixé ; φ\varphi est une combinaison linéaire de telles applications, donc φ\varphi est bilinéaire.
  • Symétrie : en échangeant XX et YY :
φ(Y,X)=y1x1+y1x2+y2x1+2 y2x2=φ(X,Y).\varphi(Y,X) = y_1 x_1 + y_1 x_2 + y_2 x_1 + 2\, y_2 x_2 = \varphi(X,Y).
  • Caractère défini positif : pour tout X=(x1,x2)∈R2X = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 :
φ(X,X)=x12+2 x1x2+2 x22=(x1+x2)2+x22⩾0.\varphi(X,X) = x_1^2 + 2\, x_1 x_2 + 2\, x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 \geqslant 0.

De plus, φ(X,X)=0\varphi(X,X) = 0 si et seulement si x1+x2=0x_1 + x_2 = 0 et x2=0x_2 = 0, c'est-à-dire X=0X = 0.

Conclusion : φ\varphi est un produit scalaire sur R2\mathbb{R}^2.