Distance à un sous-espace vectoriel

On dispose d'un point $x$ et d'une partie $A$ de $E$, et l'on peut mesurer à quel point $x$ est « loin » de $A$. Mais cette distance est-elle réellement atteinte ? Existe-t-il dans $A$ un point le plus proche de $x$, et si oui, est-il unique ? Et que devient la réponse lorsque $A$ est un sous-espace vectoriel ?

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie et $x \in E$. La distance de $x$ à $F$ est atteinte en un unique point de $F$, à savoir $p_F(x)$. C'est-à-dire :

1. $d(x,F) = \left\| x - p_F(x) \right\|$ ;
2. $\forall y \in F, \quad \|x - y\| = d(x,F) \iff y = p_F(x)$.

Calculer

$\inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2} \int_{0}^{1} \left( t^2 - at - b \right)^2 dt.$

Dans le cas particulier où le sous-espace est un hyperplan, la projection orthogonale se lit directement sur un vecteur normal. Peut-on en tirer une formule close, entièrement explicite, pour la distance de $x$ à cet hyperplan ?

Soient $E$ un espace euclidien et $u \in E \setminus \{0\}$. On pose $D = \operatorname{vect}(u)$ et $H = D^{\perp}$. Pour tout $x \in E$, on a :

$d(x,H) = \frac{|(x \mid u)|}{\|u\|}.$