Probabilité sur un univers fini

Comment définir « la » probabilité d'un événement ? La question, posée ainsi, n'est pas mathématique : le nombre attribué dépend de l'expérience, et c'est au modélisateur de le fixer. Ce que les mathématiques peuvent faire, c'est énoncer les règles minimales auxquelles toute attribution raisonnable doit obéir. Combien de règles faut-il — et pourquoi l'additivité ne sera-t-elle exigée que pour des événements incompatibles ?

Pour tous événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé fini, $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.

Les deux valeurs extrêmes $0$ et $1$ méritent un nom. Lequel — et quel rapport les événements qui les réalisent entretiennent-ils avec $\varnothing$ et $\Omega$ ?

Trois axiomes, et rien d'autre. Pourtant tout le calcul des probabilités doit en découler : que vaut $\mathbb{P}(\varnothing)$ ? que devient $\mathbb{P}(A\cup B)$ lorsque $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles ? un événement plus gros a-t-il forcément une probabilité plus grande ? Rien de tout cela n'est postulé — il faut le démontrer.

1. $\mathbb{P}(\varnothing)=0$ : l'événement vide est impossible.
2. $\mathbb{P}\!\bigl(\overline{A}\bigr)=1-\mathbb{P}(A)$.
3. Si $A\subset B$, alors $\mathbb{P}(A)\leqslant \mathbb{P}(B)$ (croissance).
4. $\mathbb{P}(A\setminus B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B)$.
5. $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$.
6. $\mathbb{P}(A\cup B)\leqslant \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$.
7. Si $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ sont deux à deux incompatibles, alors $\displaystyle \mathbb{P}\!\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n} A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)$.
8. $\displaystyle \mathbb{P}\!\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n} A_i\right)\leqslant \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)$.

Si $\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)$, alors $A\subset B$.

Pour tous événements $A_1,\dots,A_n$, on a $\displaystyle\mathbb{P}\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)\leqslant\sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)$, sans aucune hypothèse sur les $A_i$.

Une urne contient $n$ boules, dont $p$ sont blanches et $n-p$ sont noires. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit blanche ? qu'elle soit noire ?

Dans un lycée, on interroge un élève. On note $E$ l'événement « l'élève étudie l'espagnol » et $A$ l'événement « l'élève étudie l'allemand ». Une enquête a fourni

1. Quelle est la probabilité que l'élève étudie au moins une des deux langues ?
2. Quelle est la probabilité qu'il n'en étudie aucune ?
3. Quelle est la probabilité qu'il étudie l'espagnol mais pas l'allemand ?
4. Quelle est la probabilité qu'il étudie exactement une des deux langues ? La calculer de deux façons.
5. Un élève écrit $\mathbb{P}(E\cup A)=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(A)=1{,}05$. Où est l'erreur ?

1. Un enquêteur annonce $\mathbb{P}(A)=0{,}40$, $\mathbb{P}(B)=0{,}30$ et $\mathbb{P}(A\cup B)=0{,}80$. Montrer que ces trois valeurs ne peuvent pas coexister, de deux manières différentes.
2. On suppose désormais $\mathbb{P}(A)=0{,}7$ et $\mathbb{P}(B)=0{,}6$, sans autre information. Établir l'encadrement $0{,}3\leqslant\mathbb{P}(A\cap B)\leqslant 0{,}6$.
3. On pose $\Omega=\llbracket 1,10\rrbracket$, muni des probabilités élémentaires $p_i=\tfrac{1}{10}$. Construire, dans cet espace, deux événements $A$ et $B$ réalisant la borne supérieure, puis deux événements réalisant la borne inférieure.
4. Généraliser : pour deux événements quelconques $A$ et $B$, encadrer $\mathbb{P}(A\cap B)$ à l'aide de $\mathbb{P}(A)$ et $\mathbb{P}(B)$ seuls.

Une probabilité est une application définie sur $\mathcal{P}(\Omega)$ : sur un univers à $n$ issues, cela fait $2^n$ valeurs à donner. Pour $n=20$, plus d'un million. Peut-on s'en tirer à moins ? Autrement dit : existe-t-il un petit paquet de données qui détermine $\mathbb{P}$ tout entière — et à quelles conditions un tel paquet, choisi arbitrairement, définit-il bien une probabilité ?

Une probabilité $\mathbb{P}$ sur un univers fini $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n\}$ est entièrement déterminée par les valeurs $\bigl(p_i=\mathbb{P}(\omega_i)\bigr)_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$. De plus, $\mathbb{P}$ est une probabilité si, et seulement si,

La probabilité d'un événement $A$ est alors la somme des probabilités des issues qui le composent :

Si $p_1,\dots,p_n$ sont des réels positifs de somme $1$, il existe une et une seule probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$ telle que $\mathbb{P}(\{\omega_i\})=p_i$ pour tout $i$.

Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du $6$ soit le triple de la probabilité de sortie du $1$. Les numéros $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ ont la même probabilité de sortie.

1. Quelle est la probabilité de sortie de chaque numéro ?
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « obtenir un numéro pair ».

Une roue est partagée en $n$ secteurs numérotés de $1$ à $n$. Elle est déséquilibrée : la probabilité de s'arrêter sur le secteur $k$ est proportionnelle à $k$.

1. Déterminer $p_k=\mathbb{P}(\{k\})$ pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$.
2. Vérifier que la famille obtenue définit bien une probabilité.
3. On prend $n=6$. Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair, puis celle d'obtenir un numéro supérieur ou égal à $5$.
4. Toujours pour $n=6$, calculer de deux façons la probabilité d'obtenir un numéro impair.