MPSI · Probabilités sur un univers fini

Vocabulaire : univers et événements

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Dans la vie courante, de nombreuses situations échappent à toute prédiction certaine : le résultat d'un lancer de dé, la répartition des cartes dans une main de poker, l'issue d'un tirage au sort. Face à ces phénomènes, on ne peut pas prévoir ce qui va se passer, mais on peut quantifier à quel point un événement est vraisemblable.

C'est l'objet du calcul des probabilités : modéliser mathématiquement le hasard en associant à chaque événement un nombre entre 00 et 11 mesurant sa chance de réalisation. Une probabilité nulle traduit l'impossibilité, une probabilité égale à 11 traduit la certitude, et toute valeur intermédiaire mesure un degré de vraisemblance.

Ce chapitre pose les fondements de cette théorie dans le cadre le plus simple : celui des univers finis, où l'ensemble des résultats possibles est dénombrable.

Expérience aléatoire, univers, événements

Question

Avant même de parler de probabilité, il faut savoir de quoi on va calculer la probabilité. Une phrase comme « la somme des deux dés vaut 77 » n'est pas un objet mathématique. Quel objet mathématique va-t-on lui faire correspondre — et dans quel ensemble vit-il ?

Définition 1 : Expérience aléatoire, univers et événements

On appelle expérience aléatoire toute expérience vérifiant les deux conditions suivantes :

  • elle peut être répétée dans les mêmes conditions ;
  • son résultat n'est pas déterminé à l'avance : il dépend du hasard.

À toute expérience aléatoire, on associe un ensemble non vide Ω\Omega, appelé univers, dont les éléments représentent tous les résultats possibles.

  • Les éléments de Ω\Omega sont appelés issues (ou résultats possibles) ; on les note souvent ω\omega.
  • Les événements sont les parties de Ω\Omega.
  • Les événements élémentaires sont les singletons {ω}\{\omega\} de Ω\Omega.

Remarque :

  1. On distingue l'expérience aléatoire (le protocole) de ses réalisations (les résultats effectivement observés lors de chaque répétition). Deux réalisations de la même expérience peuvent donner des résultats différents.
  2. Dans le cadre de ce cours, nous nous limitons aux univers finis. La théorie s'étend aux univers infinis — dénombrables (comme N\mathbb{N}) ou continus (comme R\mathbb{R}) — mais la formalisation y est sensiblement plus délicate : elle requiert notamment la notion de tribu et une théorie de la mesure. Ces outils font partie du programme de deuxième année MP et ne sont pas abordés ici.

Test 1 : Issue ou événement ?

Dans le lancer d'un dé à six faces, le résultat « obtenir 33 » est un événement de l'univers Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.

Exemple — Expériences aléatoires classiques :

  1. Lancer d'un dé équilibré à six faces. L'expérience peut être répétée indéfiniment dans les mêmes conditions. Le résultat est un entier entre 11 et 66, non prévisible à l'avance. L'univers est Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}.
  2. Tirage d'une carte dans un jeu de 5252 cartes. On mélange le jeu et l'on tire une carte au hasard. L'univers Ω\Omega est l'ensemble des 5252 cartes du jeu.
  3. Double lancer d'un dé. On lance successivement deux dés équilibrés et l'on note le couple de résultats. L'univers est Ω={1,…,6}2\Omega = \{1,\ldots,6\}^2, qui contient 3636 issues.
  4. Tirage d'une boule dans une urne. Une urne contient 55 boules numérotées de 11 à 55. On en tire une au hasard ; l'univers est Ω={1,2,3,4,5}\Omega = \{1,2,3,4,5\}.
  5. Contrôle qualité. On prélève au hasard une pièce sur une chaîne de fabrication et l'on détermine si elle est conforme ou défectueuse. L'univers est Ω={conforme, deˊfectueuse}\Omega = \{\text{conforme},\, \text{défectueuse}\}.

Dans ces cinq situations, l'univers s'impose de lui-même. Ce n'est pas toujours le cas : une même expérience admet parfois plusieurs univers légitimes, et tout le travail du probabiliste commence là.

Exercice 1 : Choisir un univers

Pour chacune des expériences suivantes, proposer un univers Ω\Omega et donner son cardinal.

  1. On lance simultanément deux dés indiscernables (de même couleur) et l'on note les deux nombres obtenus.
  2. On lance une pièce jusqu'à obtenir pile, en s'arrêtant dans tous les cas après le quatrième lancer.
  3. Une urne contient 33 boules rouges et 22 boules vertes ; on en tire deux simultanément et l'on note uniquement les couleurs obtenues.
  4. Combien d'événements peut-on former dans la situation 3 ?
Solution :(cliquer pour afficher)

1. Deux univers sont défendables.

  • Ω1=⟦1,6⟧2\Omega_1 = \llbracket 1,6\rrbracket^2, de cardinal 3636 : on fait comme si les dés étaient discernables (l'un serait rouge, l'autre bleu), et une issue est un couple ordonné.
  • Ω2={{i,j}∣(i,j)∈⟦1,6⟧2}\Omega_2 = \bigl\{\{i,j\} \mid (i,j)\in\llbracket 1,6\rrbracket^2\bigr\}, l'ensemble des paires non ordonnées, de cardinal (62)+6=21\binom{6}{2}+6 = 21 (les 1515 paires d'éléments distincts, plus les 66 doubles).

Les deux sont des univers valides : ils décrivent bien tous les résultats possibles. Ils ne sont pas pour autant équivalents à l'usage. Dans Ω1\Omega_1, les 3636 issues sont interchangeables et recevront toutes la même probabilité ; dans Ω2\Omega_2, l'issue {1,2}\{1,2\} correspond à deux issues de Ω1\Omega_1 alors que {1,1}\{1,1\} n'en correspond qu'à une, si bien qu'elles n'ont pas la même chance. On retiendra la règle de conduite : choisir l'univers dans lequel les issues sont interchangeables, ici Ω1\Omega_1, quitte à distinguer artificiellement des objets identiques. La justification complète viendra avec le modèle équiprobable.

2. Une issue est décrite par la suite des lancers effectués, qui s'arrête au premier pile :

Ω={P, FP, FFP, FFFP, FFFF},Card(Ω)=5.\Omega = \{\text{P},\ \text{FP},\ \text{FFP},\ \text{FFFP},\ \text{FFFF}\},\qquad \mathrm{Card}(\Omega)=5.

Attention à la cinquième issue : elle correspond au cas où pile n'est jamais sorti, et sans elle l'univers ne décrirait pas tous les résultats possibles. C'est l'erreur classique de cet énoncé.

3. En ne notant que les couleurs, il n'y a que trois résultats possibles :

Ω={RR, RV, VV},Card(Ω)=3.\Omega = \{\text{RR},\ \text{RV},\ \text{VV}\},\qquad \mathrm{Card}(\Omega)=3.

Ici encore, ces trois issues ne sont visiblement pas interchangeables : il y a beaucoup plus de façons d'obtenir une rouge et une verte que deux vertes. Si l'on veut un univers à issues interchangeables, il faut numéroter les boules r1,r2,r3,v1,v2r_1,r_2,r_3,v_1,v_2 et prendre pour Ω′\Omega' l'ensemble des paires de boules, de cardinal (52)=10\binom{5}{2}=10.

4. Les événements sont les parties de Ω\Omega, donc il y en a Card(P(Ω))=23=8\mathrm{Card}\bigl(\mathcal{P}(\Omega)\bigr)=2^3=8. Plus généralement, un univers à nn issues porte 2n2^n événements : c'est pour cela qu'on ne les décrit jamais tous, on ne nomme que ceux qui intéressent le problème.

Le dictionnaire logique–ensembles

Question

Les énoncés de probabilités sont écrits en français : « AA et BB », « AA ou BB », « non AA ». Comme les événements sont des parties de Ω\Omega, ces connecteurs doivent avoir une traduction ensembliste. Laquelle — et pourquoi le « ou » du mathématicien n'est-il pas celui de la vie courante ?

Définition 2 : Logique et ensembles

Soient AA et BB deux événements.

  1. L'événement « AA ou BB » correspond à A∪BA\cup B.
  2. L'événement « AA et BB » correspond à A∩BA\cap B.
  3. L'événement contraire de AA correspond à A‾\overline{A}.

Exemple :

Avec le lancer d'un dé, Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} : l'événement « obtenir un résultat pair » est la partie {2,4,6}\{2,4,6\}, et son contraire « obtenir un résultat impair » est {1,3,5}\{1,3,5\}. Tout le dictionnaire tient là : on traduit d'abord chaque phrase en une partie de Ω\Omega, puis on lit « et », « ou », « non » comme ∩\cap, ∪\cup, passage au complémentaire. Comment l'appliquer sur un univers moins immédiat ?

Exercice 2 : Opérations sur les événements

On reprend l'expérience du double lancer d'un dé, avec Ω={1,…,6}2\Omega = \{1,\ldots,6\}^2. On définit les événements suivants :

  • AA : « la somme des deux dés vaut 77 » ;
  • BB : « le premier dé donne un résultat pair et le second un résultat impair ».
  1. Expliciter AA et BB en extension.
  2. Déterminer A∩BA\cap B, puis A∪BA\cup B.
  3. Décrire A‾\overline{A} et donner son cardinal.
Solution :(cliquer pour afficher)

1. Les couples de somme 77 s'obtiennent en parcourant la première coordonnée :

A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.A = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}.

Pour BB, la première coordonnée parcourt {2,4,6}\{2,4,6\} et la seconde {1,3,5}\{1,3,5\} :

B={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5)}.B = \{(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5)\}.

2. L'intersection A∩BA \cap B traduit « la somme vaut 77 et le premier dé est pair ». On sélectionne les couples de AA dont la première coordonnée est paire :

A∩B={(2,5),(4,3),(6,1)}.A \cap B = \{(2,5),(4,3),(6,1)\}.

La réunion A∪BA \cup B traduit « la somme vaut 77 ou le premier dé est pair et le second impair ». On regroupe les éléments de AA et de BB sans répétition, les trois éléments communs n'étant comptés qu'une fois :

A∪B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,1),(2,3),(4,1),(4,5),(6,3),(6,5)}.A \cup B = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,1),(2,3),(4,1),(4,5),(6,3),(6,5)\}.

On retrouve bien 6+9−3=126+9-3 = 12 issues.

3. Le complémentaire A‾\overline{A} traduit « la somme des deux dés est différente de 77 » :

A‾={(i,j)∈Ω∣i+j≠7}.\overline{A} = \{(i,j)\in\Omega \mid i+j \neq 7\}.

Comme AA contient 66 couples et Ω\Omega en contient 3636, l'événement A‾\overline{A} en contient 36−6=3036 - 6 = 30.

Les énoncés de concours ne parlent presque jamais de A∪BA\cup B ni de A∩BA\cap B : ils disent « au moins un », « aucun », « exactement un ». Ces trois tournures se traduisent une fois pour toutes.

Rédaction — Traduire au moins un, exactement un, aucun :

Soient A1,…,AnA_1,\dots,A_n des événements de Ω\Omega.

Étape 1. Nommer les événements « atomiques » de la phrase, ceux qui portent sur un seul objet ou un seul essai : AiA_i désigne « le ii-ème objet possède la propriété ».

Étape 2. Repérer le quantificateur caché dans la phrase, puis appliquer le dictionnaire :

PhraseÉcriture
au moins un des AiA_i est réalisé⋃i=1nAi\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i
tous les AiA_i sont réalisés⋂i=1nAi\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} A_i
aucun des AiA_i n'est réalisé⋂i=1nAi‾\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} \overline{A_i}
exactement un des AiA_i est réalisé⋃i=1n(Ai∩⋂j≠iAj‾)\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}\Bigl(A_i\cap\bigcap_{j\neq i}\overline{A_j}\Bigr)

Étape 3. Contrôler par passage au contraire, à l'aide des lois de De Morgan :

⋃i=1nAi‾=⋂i=1nAi‾,⋂i=1nAi‾=⋃i=1nAi‾.\overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_i}=\bigcap_{i=1}^{n} \overline{A_i}, \qquad \overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_i}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_i}.

Autrement dit : le contraire de « au moins un » est « aucun », et le contraire de « tous » est « au moins un ne l'est pas ». C'est le réflexe le plus rentable du chapitre : dès qu'un énoncé contient « au moins un », il est presque toujours plus court de travailler sur le contraire.

Exercice 3 : Contrôle qualité sur trois pièces

On prélève successivement trois pièces sur une chaîne de fabrication ; chacune est conforme ou défectueuse. Pour i∈⟦1,3⟧i\in\llbracket 1,3\rrbracket, on note DiD_i l'événement « la ii-ème pièce prélevée est défectueuse ».

Exprimer à l'aide des DiD_i, de ∪\cup, de ∩\cap et du passage au complémentaire les événements suivants :

  1. EE : « au moins une pièce est défectueuse » ;
  2. FF : « aucune pièce n'est défectueuse » ;
  3. GG : « exactement une pièce est défectueuse » ;
  4. HH : « au plus une pièce est défectueuse » ;
  5. KK : « les trois pièces ne sont pas toutes défectueuses ».

Préciser en outre quelles paires parmi EE, FF, GG sont formées d'événements incompatibles.

Solution :(cliquer pour afficher)

1. « Au moins une » est une réunion :

E=D1∪D2∪D3.E = D_1\cup D_2\cup D_3.

2. « Aucune » est le contraire de « au moins une », soit par De Morgan :

F=E‾=D1‾∩D2‾∩D3‾.F=\overline{E}=\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\cap\overline{D_3}.

3. « Exactement une » : on énumère laquelle est défectueuse, les deux autres ne l'étant pas. Les trois cas s'excluent, d'où la réunion :

G=(D1∩D2‾∩D3‾)∪(D1‾∩D2∩D3‾)∪(D1‾∩D2‾∩D3).G = \bigl(D_1\cap\overline{D_2}\cap\overline{D_3}\bigr)\cup\bigl(\overline{D_1}\cap D_2\cap\overline{D_3}\bigr)\cup\bigl(\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\cap D_3\bigr).

4. « Au plus une » signifie « aucune, ou exactement une » :

H=F∪G.H = F\cup G.

5. « Ne sont pas toutes défectueuses » est le contraire de « toutes sont défectueuses », donc par De Morgan :

K=D1∩D2∩D3‾=D1‾∪D2‾∪D3‾.K=\overline{D_1\cap D_2\cap D_3}=\overline{D_1}\cup\overline{D_2}\cup\overline{D_3}.

Noter que KK n'est pas FF : KK autorise une ou deux pièces défectueuses, FF n'en autorise aucune. On a d'ailleurs F⊂KF\subset K.

Incompatibilités. EE et FF sont contraires l'un de l'autre, donc incompatibles. FF et GG sont incompatibles : si aucune pièce n'est défectueuse, il n'y en a pas exactement une. En revanche EE et GG ne le sont pas, et mieux : G⊂EG\subset E, puisque exactement une défectueuse est un cas particulier d'au moins une.

Test 2 : Contraire de au moins un

Le contraire de l'événement « au moins une des trois pièces est défectueuse » est l'événement « au plus une des trois pièces est défectueuse ».

Événements incompatibles

Question

Deux événements peuvent-ils toujours se réaliser en même temps ? Que devient le dictionnaire précédent lorsque l'intersection est vide — et pourquoi ce cas mérite-t-il un nom à lui seul ?

Définition 3 : Événements incompatibles

Lorsque A∩B=∅A\cap B=\varnothing, les événements AA et BB sont dits incompatibles.

Remarque :

  1. En particulier, deux événements incompatibles ne peuvent pas être réalisés simultanément.
  2. AA et A‾\overline{A} sont toujours incompatibles.

Exemple :

  1. Avec le lancer d'un dé (Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}), posons
A={reˊsultat pair}={2,4,6},B={reˊsultat impair}={1,3,5}.A = \{\text{résultat pair}\} = \{2,4,6\}, \qquad B = \{\text{résultat impair}\} = \{1,3,5\}.

On a A∩B=∅A \cap B = \varnothing : un résultat ne peut pas être à la fois pair et impair. Les événements AA et BB sont donc incompatibles. 2. Avec le contrôle qualité (Ω={conforme,deˊfectueuse}\Omega = \{\text{conforme}, \text{défectueuse}\}), les deux issues forment elles-mêmes deux événements élémentaires incompatibles : une pièce ne peut pas être simultanément conforme et défectueuse. 3. Avec le tirage d'une carte dans un jeu de 5252 cartes, posons

A={la carte est un as},B={la carte est un roi}.A = \{\text{la carte est un as}\}, \qquad B = \{\text{la carte est un roi}\}.

Aucune carte n'est à la fois un as et un roi, donc A∩B=∅A \cap B = \varnothing : AA et BB sont incompatibles.

Test 3 : Incompatibilité et inclusion

Si AA et BB sont incompatibles, alors A⊂B‾A\subset\overline{B}.

Test 4 : Deux événements élémentaires

Deux événements élémentaires distincts sont toujours incompatibles.

Exercice 4 : Incompatible ou contraire ?

On tire une carte au hasard dans un jeu de 5252 cartes. On considère les événements

  • AA : « la carte est un cœur » ;
  • BB : « la carte est un pique » ;
  • CC : « la carte est rouge » ;
  • DD : « la carte est une figure » (valet, dame ou roi).
  1. Les événements AA et BB sont-ils incompatibles ? Sont-ils contraires ?
  2. Les événements AA et CC sont-ils incompatibles ? Comparer AA et CC.
  3. Les événements AA et DD sont-ils incompatibles ? Décrire A∩DA\cap D et donner son cardinal.
  4. Exhiber deux événements incompatibles dont la réunion est Ω\Omega tout entier. Que peut-on alors dire de ces deux événements ?
  5. En déduire le lien logique exact entre « incompatibles » et « contraires ».
Solution :(cliquer pour afficher)

1. Une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique, donc A∩B=∅A\cap B=\varnothing : AA et BB sont incompatibles. Ils ne sont pas contraires pour autant : A∪BA\cup B ne contient que les 2626 cartes rouges de cœur et noires de pique, alors que A‾\overline{A} contient les 3939 cartes qui ne sont pas des cœurs, carreaux et trèfles compris. Une carte de carreau ne réalise ni AA ni BB.

2. Tout cœur est une carte rouge, donc A⊂CA\subset C et A∩C=A≠∅A\cap C=A\neq\varnothing : ces deux événements ne sont pas incompatibles, ils sont emboîtés.

3. Il existe des figures de cœur, donc A∩D≠∅A\cap D\neq\varnothing : les événements ne sont pas incompatibles. Précisément, A∩DA\cap D est l'événement « la carte est une figure de cœur », de cardinal 33 (valet, dame, roi de cœur).

4. Par exemple CC : « la carte est rouge » et C‾\overline{C} : « la carte est noire ». On a bien C∩C‾=∅C\cap\overline{C}=\varnothing et C∪C‾=ΩC\cup\overline{C}=\Omega. Deux événements incompatibles dont la réunion vaut Ω\Omega sont exactement deux événements contraires l'un de l'autre : le second est déterminé par le premier.

5. « Contraires » est strictement plus fort que « incompatibles » :

A et B contraires  ⟺  (A∩B=∅  et  A∪B=Ω).A\ \text{et}\ B\ \text{contraires} \iff \bigl(A\cap B=\varnothing \ \text{ et }\ A\cup B=\Omega\bigr).

L'incompatibilité ne retient que la première condition. Deux événements contraires sont donc incompatibles, mais la réciproque est fausse — c'est ce que montre la question 1.

Système complet d'événements

Question

Raisonner par disjonction de cas est le réflexe de base en mathématiques : on découpe le problème en situations exclusives qui épuisent toutes les possibilités. Comment écrire ce découpage dans le langage des événements — et qu'est-ce qui distingue ce découpage d'une partition de Ω\Omega au sens habituel ?

Définition 4 : Système complet d'événements

Soient Ω\Omega un univers et {Ai}i∈I\{A_i\}_{i\in I} une famille d'événements. Cette famille est un système complet d'événements si elle vérifie les deux conditions :

  1. ⋃i∈IAi=Ω\displaystyle\bigcup_{i\in I} A_i=\Omega ;
  2. ∀(i,j)∈I2,i≠j  ⟹  Ai∩Aj=∅\forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j \implies A_i\cap A_j=\varnothing.

Remarque :

  1. Un système complet d'événements est un recouvrement disjoint de l'univers : il correspond à une disjonction de tous les cas possibles. Si l'on ajoute la condition ∀i∈I, Ai≠∅\forall i\in I,\ A_i\neq\varnothing, alors la famille forme une partition de Ω\Omega.
  2. La famille des événements élémentaires {ω}\{\omega\}, pour ω∈Ω\omega\in\Omega, forme un système complet d'événements : les singletons {ω}\{\omega\} sont deux à deux disjoints et leur réunion est Ω\Omega tout entier. C'est le système complet le plus fin que l'on puisse construire sur Ω\Omega.
  3. Pour tout événement AA, la famille {A,A‾}\{A,\overline{A}\} forme un système complet d'événements, puisque A∪A‾=ΩA\cup\overline{A}=\Omega et A∩A‾=∅A\cap\overline{A}=\varnothing. C'est le système complet le plus grossier à deux éléments.

Test 5 : Système complet et partition

Tout système complet d'événements de Ω\Omega est une partition de Ω\Omega.

Exemple :

  1. Avec le lancer d'un dé (Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}), la famille
A1={1,2},A2={3,4},A3={5,6}A_1 = \{1,2\},\quad A_2 = \{3,4\},\quad A_3 = \{5,6\}

forme un système complet d'événements : les AiA_i sont deux à deux disjoints et leur réunion est Ω\Omega tout entier. 2. Avec le tirage d'une carte dans un jeu de 5252, on peut partitionner Ω\Omega selon la couleur de la carte :

A1={cœur},A2={carreau},A3={treˋfle},A4={pique}.A_1 = \{\text{cœur}\},\quad A_2 = \{\text{carreau}\},\quad A_3 = \{\text{trèfle}\},\quad A_4 = \{\text{pique}\}.

Ces quatre événements sont deux à deux incompatibles et couvrent l'ensemble des 5252 cartes : ils forment un système complet d'événements. Comment vérifier une telle affirmation sans énumérer les 5252 cartes ?

Rédaction — Vérifier qu'une famille est un système complet :

Pour établir que (A1,…,An)(A_1,\dots,A_n) est un système complet d'événements de Ω\Omega :

Étape 1 — l'incompatibilité deux à deux. Se donner i≠ji\neq j quelconques et montrer Ai∩Aj=∅A_i\cap A_j=\varnothing. En pratique, on raisonne par l'absurde sur une issue commune : si ω∈Ai∩Aj\omega\in A_i\cap A_j, l'issue ω\omega posséderait deux valeurs distinctes d'une même caractéristique (deux couleurs, deux nombres de succès), ce qui est impossible.

Étape 2 — le recouvrement. L'inclusion ⋃iAi⊂Ω\bigcup_i A_i\subset\Omega est automatique, les AiA_i étant des parties de Ω\Omega. Il reste Ω⊂⋃iAi\Omega\subset\bigcup_i A_i : on part d'une issue ω∈Ω\omega\in\Omega quelconque et on exhibe l'indice ii tel que ω∈Ai\omega\in A_i.

Raccourci utile en univers fini. Si l'étape 1 est acquise, alors les AiA_i étant deux à deux disjoints,

Card(⋃i=1nAi)=∑i=1nCard(Ai),\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Card}(A_i),

et l'étape 2 équivaut à la seule égalité numérique ∑i=1nCard(Ai)=Card(Ω)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Card}(A_i)=\mathrm{Card}(\Omega). Un simple comptage remplace alors la double inclusion : pour les quatre couleurs d'un jeu de 5252 cartes, 13×4=5213\times 4=52 suffit à conclure.

Exercice 5 : Systèmes complets sur trois lancers

On lance une pièce trois fois de suite et l'on note la suite des résultats, chaque lancer donnant pile (P\text{P}) ou face (F\text{F}). On prend Ω={P,F}3\Omega=\{\text{P},\text{F}\}^3.

  1. Donner le cardinal de Ω\Omega et expliciter ses issues.
  2. Pour k∈⟦0,3⟧k\in\llbracket 0,3\rrbracket, on note AkA_k l'événement « on obtient exactement kk piles ». Montrer que (A0,A1,A2,A3)(A_0,A_1,A_2,A_3) est un système complet d'événements, et donner le cardinal de chaque AkA_k.
  3. Soit BB l'événement « le premier lancer donne pile ». La famille (B,B‾)(B,\overline{B}) est-elle un système complet ? L'un des deux systèmes obtenus est-il plus fin que l'autre ?
  4. La famille (A1,A2,B)(A_1,A_2,B) est-elle un système complet d'événements ? Justifier en examinant chacune des deux conditions.
Solution :(cliquer pour afficher)

1. Une issue est un triplet de symboles pris dans un ensemble à deux éléments, donc Card(Ω)=23=8\mathrm{Card}(\Omega)=2^3=8 :

Ω={PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF}.\Omega=\{\text{PPP},\ \text{PPF},\ \text{PFP},\ \text{FPP},\ \text{PFF},\ \text{FPF},\ \text{FFP},\ \text{FFF}\}.

2. Incompatibilité. Soient k≠k′k\neq k'. Une issue de Ak∩Ak′A_k\cap A_{k'} comporterait à la fois exactement kk piles et exactement k′k' piles ; comme le nombre de piles d'une issue est un entier bien déterminé, c'est impossible et Ak∩Ak′=∅A_k\cap A_{k'}=\varnothing.

Recouvrement. Toute issue ω∈Ω\omega\in\Omega comporte un nombre de piles kk, nécessairement compris entre 00 et 33, donc ω∈Ak\omega\in A_k : Ω⊂A0∪A1∪A2∪A3\Omega\subset A_0\cup A_1\cup A_2\cup A_3, et l'inclusion réciproque est immédiate.

La famille est donc un système complet. Explicitement :

A0={FFF},A1={PFF,FPF,FFP},A2={PPF,PFP,FPP},A3={PPP},A_0=\{\text{FFF}\},\quad A_1=\{\text{PFF},\text{FPF},\text{FFP}\},\quad A_2=\{\text{PPF},\text{PFP},\text{FPP}\},\quad A_3=\{\text{PPP}\},

de cardinaux respectifs 1,3,3,11,3,3,1. Le raccourci de comptage confirme : 1+3+3+1=8=Card(Ω)1+3+3+1=8=\mathrm{Card}(\Omega).

3. Oui : pour tout événement BB, la famille (B,B‾)(B,\overline{B}) est un système complet, puisque B∩B‾=∅B\cap\overline{B}=\varnothing et B∪B‾=ΩB\cup\overline{B}=\Omega. Ici B={PPP,PPF,PFP,PFF}B=\{\text{PPP},\text{PPF},\text{PFP},\text{PFF}\} et B‾={FPP,FPF,FFP,FFF}\overline{B}=\{\text{FPP},\text{FPF},\text{FFP},\text{FFF}\}, de cardinaux 44 et 44.

En revanche, aucun des deux systèmes n'est plus fin que l'autre. Pour que (A0,A1,A2,A3)(A_0,A_1,A_2,A_3) raffine (B,B‾)(B,\overline{B}), il faudrait que chaque AkA_k soit contenu dans BB ou dans B‾\overline{B} ; or

A1∩B={PFF}≠∅etA1∩B‾={FPF,FFP}≠∅,A_1\cap B=\{\text{PFF}\}\neq\varnothing \qquad\text{et}\qquad A_1\cap\overline{B}=\{\text{FPF},\text{FFP}\}\neq\varnothing,

donc A1A_1 chevauche les deux. Et (B,B‾)(B,\overline{B}) ne raffine évidemment pas l'autre, puisque BB n'est contenu dans aucun AkA_k. Les deux découpages répondent simplement à deux questions différentes — combien de piles, et quand est sorti le premier pile — et il n'y a aucune raison qu'ils soient comparables.

4. Non, et les deux conditions tombent en défaut.

Incompatibilité. A1∩B={PFF}≠∅A_1\cap B=\{\text{PFF}\}\neq\varnothing : l'issue PFF\text{PFF} comporte exactement un pile et commence par un pile, donc A1A_1 et BB ne sont pas incompatibles.

Recouvrement. L'issue FFF\text{FFF} ne comporte ni un ni deux piles et ne commence pas par pile, donc FFF∉A1∪A2∪B\text{FFF}\notin A_1\cup A_2\cup B, et la réunion n'est pas Ω\Omega.

La leçon est qu'un système complet n'est pas une simple collection d'événements « intéressants » : c'est un découpage, et il faut que les cas s'excluent et qu'ils épuisent toutes les possibilités.