MPSI · Applications linéaires

Définitions et opérations

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Dans toute cette leçon, EE, FF et GG désignent des K\mathbb{K}-espaces vectoriels.

Question

Un espace vectoriel, c'est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire. Parmi toutes les applications d'un espace EE vers un espace FF, l'immense majorité ignore complètement cette structure. Lesquelles la respectent, au sens où l'image d'une somme est la somme des images et l'image d'un multiple est le multiple de l'image ? Et pourquoi ces applications-là méritent-elles qu'on leur consacre un chapitre entier ?

Définitions et exemples

Définition 1 : Application linéaire

Soit f:E⟶Ff : E \longrightarrow F une application. On dit que ff est une application linéaire si :

∀x,y∈E, ∀λ∈K:f(x+λy)=f(x)+λ f(y).\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in \mathbb{K} : \quad f(x + \lambda y) = f(x) + \lambda\, f(y).
  • Si de plus E=FE = F, on dit que ff est un endomorphisme.
  • Si ff est bijective, on dit que ff est un isomorphisme.
  • Si ff est un endomorphisme bijectif, on dit que ff est un automorphisme.

Notation :

On note L(E,F)\mathcal{L}(E,F) l'ensemble des applications linéaires de EE vers FF, et L(E)\mathcal{L}(E) l'ensemble des endomorphismes de EE.

Remarque :

  1. Si f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E,F), alors f(0E)=0Ff(0_E) = 0_F.
  2. Si f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E,F), alors pour toute famille (xi)1⩽i⩽n(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} d'éléments de EE et toute famille (λi)1⩽i⩽n(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} d'éléments de K\mathbb{K} :
f ⁣(∑i=1nλi xi)=∑i=1nλi f(xi).f\!\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, x_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, f(x_i).

Exemple :

  1. Pour a∈Ka \in \mathbb{K}, l'homothétie x⟼axx \longmapsto ax de EE dans EE est linéaire.
  2. La dérivation f⟼f′f \longmapsto f', de C1(I,R)\mathcal{C}^{1}(I,\mathbb{R}) dans C0(I,R)\mathcal{C}^{0}(I,\mathbb{R}), est linéaire ; sur C∞(I,R)\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R}) c'est un endomorphisme.
  3. L'intégration f⟼∫abf(t) dtf \longmapsto \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t, de C([a,b],K)\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K}) dans K\mathbb{K}, est linéaire.
  4. La transposition M⟼MTM \longmapsto M^{\mathsf{T}}, de Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) dans Mp,n(K)\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K}), est un isomorphisme.
  5. Pour Ω\Omega un ensemble et a∈Ωa \in \Omega, l'évaluation f⟼f(a)f \longmapsto f(a), de EΩE^{\Omega} dans EE, est linéaire.

Dans chaque cas, comment le vérifier proprement ?

Le point 1 de la remarque donne un premier réflexe : une application qui n'envoie pas 00 sur 00 ne peut pas être linéaire.

Test 1

L'application f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x⟼2x+1x \longmapsto 2x + 1, est linéaire.

Exercice 1 : Reconnaître une application linéaire

On considère φ:R3⟶R2\varphi : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 définie par φ(x,y,z)=(2x+y, y−3z)\varphi(x,y,z) = (2x + y,\ y - 3z). Montrer que φ\varphi est linéaire.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soient (x,y,z), (a,b,c)∈R3(x,y,z),\ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. On a :

φ((x,y,z)+λ(a,b,c))=φ(x+λa, y+λb, z+λc)=(2(x+λa)+(y+λb), (y+λb)−3(z+λc))=(2x+y, y−3z)+λ (2a+b, b−3c)=φ(x,y,z)+λ φ(a,b,c).\begin{aligned} \varphi\bigl( (x,y,z) + \lambda(a,b,c) \bigr) &= \varphi\bigl( x + \lambda a,\ y + \lambda b,\ z + \lambda c \bigr) \\ &= \bigl( 2(x+\lambda a) + (y + \lambda b),\ (y + \lambda b) - 3(z + \lambda c) \bigr) \\ &= \bigl( 2x + y,\ y - 3z \bigr) + \lambda\, \bigl( 2a + b,\ b - 3c \bigr) \\ &= \varphi(x,y,z) + \lambda\, \varphi(a,b,c). \end{aligned}

Donc φ\varphi est linéaire.

Opérations sur les applications linéaires

On sait maintenant reconnaître une application linéaire. Se pose alors la question de leur combinaison : additionne-t-on deux applications linéaires ? les compose-t-on ? les inverse-t-on ? Et chacune de ces opérations produit-elle encore une application linéaire ?

Proposition 1 : Structure d'espace vectoriel

L'ensemble L(E,F)\mathcal{L}(E,F), muni de ses lois usuelles, est un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Remarque :

  1. En effet, L(E,F)\mathcal{L}(E,F) est un sous-espace vectoriel de F(E,F)\mathcal{F}(E,F).
  2. Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est une application linéaire.

Proposition 2 : Composée d'applications linéaires

Si f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E,F) et g∈L(F,G)g \in \mathcal{L}(F,G), alors g∘f∈L(E,G)g \circ f \in \mathcal{L}(E,G).

Démonstration :

Soient x,y∈Ex, y \in E et λ∈K\lambda \in \mathbb{K}. On a :

g∘f(x+λy)=g(f(x+λy))=g(f(x)+λf(y))=g(f(x))+λ g(f(y))=g∘f(x)+λ g∘f(y),g \circ f(x + \lambda y) = g\bigl(f(x + \lambda y)\bigr) = g\bigl(f(x) + \lambda f(y)\bigr) = g\bigl(f(x)\bigr) + \lambda\, g\bigl(f(y)\bigr) = g \circ f(x) + \lambda\, g \circ f(y),

donc g∘f∈L(E,G)g \circ f \in \mathcal{L}(E,G).

Proposition 3 : Linéarité de la composition

Soient g∈L(E,F)g \in \mathcal{L}(E,F) et h∈L(F,G)h \in \mathcal{L}(F,G). Alors les applications

L(F,G)⟶L(E,G)f⟼f∘getL(E,F)⟶L(E,G)f⟼h∘f\begin{array}{ccl} \mathcal{L}(F,G) & \longrightarrow & \mathcal{L}(E,G) \\ f & \longmapsto & f \circ g \end{array} \qquad \text{et} \qquad \begin{array}{ccl} \mathcal{L}(E,F) & \longrightarrow & \mathcal{L}(E,G) \\ f & \longmapsto & h \circ f \end{array}

sont linéaires.

Démonstration :

Soient f1,f2∈L(F,G)f_1, f_2 \in \mathcal{L}(F,G) et λ∈K\lambda \in \mathbb{K}. Soit x∈Ex \in E. On a :

((f1+λf2)∘g)(x)=(f1+λf2)(g(x))=f1(g(x))+λ f2(g(x))=(f1∘g+λ f2∘g)(x),\bigl( (f_1 + \lambda f_2) \circ g \bigr)(x) = (f_1 + \lambda f_2)\bigl(g(x)\bigr) = f_1\bigl(g(x)\bigr) + \lambda\, f_2\bigl(g(x)\bigr) = \bigl( f_1 \circ g + \lambda\, f_2 \circ g \bigr)(x),

donc (f1+λf2)∘g=f1∘g+λ f2∘g(f_1 + \lambda f_2) \circ g = f_1 \circ g + \lambda\, f_2 \circ g. D'où l'application f⟼f∘gf \longmapsto f \circ g est linéaire. On procède de même pour f⟼h∘ff \longmapsto h \circ f.

Vocabulaire :

On dit que l'application

L(E,F)×L(F,G)⟶L(E,G)(g,h)⟼h∘g\begin{array}{ccl} \mathcal{L}(E,F) \times \mathcal{L}(F,G) & \longrightarrow & \mathcal{L}(E,G) \\ (g,h) & \longmapsto & h \circ g \end{array}

est bilinéaire.

Proposition 4 : Réciproque d'un isomorphisme

Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E,F). Si ff est bijective, alors f−1∈L(F,E)f^{-1} \in \mathcal{L}(F,E).

Démonstration :

Soient x,y∈Fx, y \in F et λ∈K\lambda \in \mathbb{K}. On a :

f(f−1(x)+λf−1(y))=f(f−1(x))+λ f(f−1(y))=x+λy,f\bigl( f^{-1}(x) + \lambda f^{-1}(y) \bigr) = f\bigl( f^{-1}(x) \bigr) + \lambda\, f\bigl( f^{-1}(y) \bigr) = x + \lambda y,

ainsi f−1(x)+λf−1(y)=f−1(x+λy)f^{-1}(x) + \lambda f^{-1}(y) = f^{-1}(x + \lambda y), donc f−1f^{-1} est linéaire.

Exercice 2 : Composée de deux isomorphismes

Soient f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E,F) et g∈L(F,G)g \in \mathcal{L}(F,G) deux isomorphismes. Montrer que g∘fg \circ f est un isomorphisme et que (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Solution :(cliquer pour afficher)

D'après la proposition sur la composée, g∘f∈L(E,G)g \circ f \in \mathcal{L}(E,G). De plus ff et gg sont bijectives, donc g∘fg \circ f l'est aussi (composée de deux bijections) : c'est un isomorphisme.

Posons h=f−1∘g−1h = f^{-1} \circ g^{-1}, qui appartient à L(G,E)\mathcal{L}(G,E) (composée de deux applications linéaires, chacune réciproque d'un isomorphisme). On a :

(g∘f)∘(f−1∘g−1)=g∘(f∘f−1)∘g−1=g∘g−1=id⁡G,(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \operatorname{id}_G,

et de même (f−1∘g−1)∘(g∘f)=id⁡E(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = \operatorname{id}_E. Donc (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Lemme 1 : Inégalité intermédiaire

Pour tous x,y∈Ex, y \in E, on a ⟨x,y⟩⩽∥x∥ ∥y∥\langle x, y\rangle \leqslant \|x\|\,\|y\|.

Lemme 2

Un lemme sans titre : seule l'étiquette « Lemme 2 » doit apparaître.