MPSI · Applications linéaires

Symétries

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Dans toute cette leçon, EE désigne un K\mathbb{K}-espace vectoriel, et F1F_1, F2F_2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de EE. On note pp la projection sur F1F_1 parallèlement à F2F_2, et q=id⁡E−pq = \operatorname{id}_E - p la projection sur F2F_2 parallèlement à F1F_1.

Question

À partir d'une décomposition E=F1⊕F2E = F_1 \oplus F_2, la projection ne garde qu'une composante et efface l'autre. Mais on peut faire un geste plus riche : au lieu d'effacer la seconde composante, la retourner en son opposé. Que donne l'application x=x1+x2⟼x1−x2x = x_1 + x_2 \longmapsto x_1 - x_2 ? Est-elle linéaire, et comment se relie-t-elle à la projection ? Et comme un miroir appliqué deux fois redonne l'image de départ, que vaut cette application composée avec elle-même ?

Définition

Proposition 1 : Linéarité de la symétrie

L'application

s:E=F1⊕F2⟶Ex=x1+x2⟼x1−x2\begin{array}{ccl} s : E = F_1 \oplus F_2 & \longrightarrow & E \\ x = x_1 + x_2 & \longmapsto & x_1 - x_2 \end{array}

est linéaire.

Démonstration :

Soit x=x1+x2∈Ex = x_1 + x_2 \in E, avec x1∈F1x_1 \in F_1 et x2∈F2x_2 \in F_2. On a q(x)=x2q(x) = x_2, donc :

s(x)=x1−x2=(x1+x2)−2x2=x−2 q(x)=(id⁡E−2q)(x).s(x) = x_1 - x_2 = (x_1 + x_2) - 2 x_2 = x - 2\, q(x) = \bigl( \operatorname{id}_E - 2q \bigr)(x).

Ainsi s=id⁡E−2qs = \operatorname{id}_E - 2q. Comme qq est linéaire, ss est combinaison linéaire d'applications linéaires : ss est linéaire.

Définition 1 : Symétrie par rapport à F₁ parallèlement à F₂

L'application ss ci-dessus est appelée la symétrie par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2.

Remarque :

Avec pp la projection sur F1F_1 parallèlement à F2F_2 et qq celle sur F2F_2 parallèlement à F1F_1, on a :

p+q=id⁡Eets=id⁡E−2q=2p−id⁡E.p + q = \operatorname{id}_E \qquad \text{et} \qquad s = \operatorname{id}_E - 2q = 2p - \operatorname{id}_E.
F1F2xx1x2−x2s(x) = x1 − x2
Symétrie de x par rapport à F₁ parallèlement à F₂ : x = x₁ + x₂ et s(x) = x₁ − x₂.

Exercice 1 : Reconnaître des symétries

Montrer que chacune des applications suivantes est bien la symétrie annoncée.

  1. Sur le R\mathbb{R}-espace vectoriel C\mathbb{C}, la conjugaison z⟼zˉz \longmapsto \bar{z}, symétrie par rapport à R\mathbb{R} parallèlement à iRi\mathbb{R}.
  2. Sur Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), la transposition M⟼MTM \longmapsto M^{\mathsf{T}}, symétrie par rapport à Sn(K)\mathcal{S}_n(\mathbb{K}) parallèlement à An(K)\mathcal{A}_n(\mathbb{K}).
  3. Sur F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), l'application f⟼(x↦f(−x))f \longmapsto \bigl( x \mapsto f(-x) \bigr), symétrie par rapport aux fonctions paires parallèlement aux fonctions impaires.
  4. Avec F={(x,y,z)∈R3∣x+y+z=0}F = \bigl\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \bigr\} et G={(x,y,z)∈R3∣x=y=z}G = \bigl\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z \bigr\}, l'application f:(x,y,z)⟼(x−2y−2z3, −2x+y−2z3, −2x−2y+z3)f : (x,y,z) \longmapsto \left( \tfrac{x - 2y - 2z}{3},\ \tfrac{-2x + y - 2z}{3},\ \tfrac{-2x - 2y + z}{3} \right), symétrie par rapport à FF parallèlement à GG.
Solution :(cliquer pour afficher)

Une symétrie par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2 est l'application x=x1+x2⟼x1−x2x = x_1 + x_2 \longmapsto x_1 - x_2 associée à E=F1⊕F2E = F_1 \oplus F_2 ; on l'identifie donc en exhibant la décomposition et en vérifiant que l'application retourne la seconde composante en son opposé. On peut aussi vérifier f∘f=id⁡f \circ f = \operatorname{id} puis lire F1=Ker⁡(f−id⁡)F_1 = \operatorname{Ker}(f - \operatorname{id}) et F2=Ker⁡(f+id⁡)F_2 = \operatorname{Ker}(f + \operatorname{id}).

1. Pour z=a+ibz = a + ib avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, la décomposition sur C=R⊕iR\mathbb{C} = \mathbb{R} \oplus i\mathbb{R} est z=a+ibz = a + ib, et zˉ=a−ib\bar{z} = a - ib retourne bien la composante ib∈iRib \in i\mathbb{R} en son opposé. Donc z↦zˉz \mapsto \bar z est la symétrie par rapport à R\mathbb{R} parallèlement à iRi\mathbb{R}.

2. Pour M∈Mn(K)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), la décomposition sur Sn(K)⊕An(K)\mathcal{S}_n(\mathbb{K}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) est :

M=12(M+MT)⏟∈ Sn(K)+12(M−MT)⏟∈ An(K).M = \underbrace{\tfrac{1}{2}(M + M^{\mathsf{T}})}_{\in\, \mathcal{S}_n(\mathbb{K})} + \underbrace{\tfrac{1}{2}(M - M^{\mathsf{T}})}_{\in\, \mathcal{A}_n(\mathbb{K})}.

Or MT=12(M+MT)−12(M−MT)M^{\mathsf{T}} = \tfrac{1}{2}(M + M^{\mathsf{T}}) - \tfrac{1}{2}(M - M^{\mathsf{T}}) : la transposition retourne la composante antisymétrique en son opposé. Donc M↦MTM \mapsto M^{\mathsf{T}} est la symétrie par rapport à Sn(K)\mathcal{S}_n(\mathbb{K}) parallèlement à An(K)\mathcal{A}_n(\mathbb{K}).

3. Pour f∈F(R,R)f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), la décomposition en partie paire et partie impaire est :

f(x)=12(f(x)+f(−x))⏟paire+12(f(x)−f(−x))⏟impaire.f(x) = \underbrace{\tfrac{1}{2}\bigl( f(x) + f(-x) \bigr)}_{\text{paire}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\bigl( f(x) - f(-x) \bigr)}_{\text{impaire}}.

L'application g:x↦f(−x)g : x \mapsto f(-x) vérifie g(x)=12(f(x)+f(−x))−12(f(x)−f(−x))g(x) = \tfrac{1}{2}\bigl( f(x) + f(-x) \bigr) - \tfrac{1}{2}\bigl( f(x) - f(-x) \bigr) : elle retourne la partie impaire en son opposé. Donc f↦(x↦f(−x))f \mapsto \bigl( x \mapsto f(-x) \bigr) est la symétrie par rapport aux fonctions paires parallèlement aux fonctions impaires.

4. On sait que F⊕G=R3F \oplus G = \mathbb{R}^3 (vu pour les projections). Soit pp la projection sur FF parallèlement à GG :

p(x,y,z)=(2x−y−z3, 2y−x−z3, 2z−x−y3).p(x,y,z) = \left( \tfrac{2x - y - z}{3},\ \tfrac{2y - x - z}{3},\ \tfrac{2z - x - y}{3} \right).

On vérifie que f=2p−id⁡R3f = 2p - \operatorname{id}_{\mathbb{R}^3}. En effet, pour la première coordonnée :

2⋅2x−y−z3−x=4x−2y−2z−3x3=x−2y−2z3,2 \cdot \tfrac{2x - y - z}{3} - x = \tfrac{4x - 2y - 2z - 3x}{3} = \tfrac{x - 2y - 2z}{3},

et de même pour les deux autres. Comme s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E est la symétrie associée à la projection pp, l'application ff est la symétrie par rapport à FF parallèlement à GG.

Éléments caractéristiques

Une symétrie est définie à partir d'une décomposition F1⊕F2F_1 \oplus F_2. Comment retrouver F1F_1 et F2F_2 à partir de ss seule ? Deux sous-espaces sautent aux yeux : les vecteurs que ss laisse fixes, et ceux qu'elle envoie sur leur opposé.

Proposition 2 : Éléments caractéristiques d'une symétrie

Soit ss la symétrie par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2. Alors :

F1=Ker⁡(s−id⁡E)etF2=Ker⁡(s+id⁡E).F_1 = \operatorname{Ker}\bigl( s - \operatorname{id}_E \bigr) \qquad \text{et} \qquad F_2 = \operatorname{Ker}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr).

Démonstration :

On a s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E, donc s−id⁡E=2p−2id⁡E=−2 qs - \operatorname{id}_E = 2p - 2\operatorname{id}_E = -2\, q et s+id⁡E=2ps + \operatorname{id}_E = 2p. Comme −2-2 et 22 sont des scalaires non nuls, Ker⁡(s−id⁡E)=Ker⁡q=F1\operatorname{Ker}(s - \operatorname{id}_E) = \operatorname{Ker} q = F_1 et Ker⁡(s+id⁡E)=Ker⁡p=F2\operatorname{Ker}(s + \operatorname{id}_E) = \operatorname{Ker} p = F_2.

Remarque :

Si λ∈K∗\lambda \in \mathbb{K}^{*}, alors Ker⁡(λf)=Ker⁡f\operatorname{Ker}(\lambda f) = \operatorname{Ker} f et Im⁡(λf)=Im⁡f\operatorname{Im}(\lambda f) = \operatorname{Im} f.

Exemple :

Pour la transposition φ:M⟼MT\varphi : M \longmapsto M^{\mathsf{T}} sur Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), on a Ker⁡(φ−id⁡)=Sn(K)\operatorname{Ker}(\varphi - \operatorname{id}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{K}) (les matrices vérifiant MT=MM^{\mathsf{T}} = M) et Ker⁡(φ+id⁡)=An(K)\operatorname{Ker}(\varphi + \operatorname{id}) = \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) (celles vérifiant MT=−MM^{\mathsf{T}} = -M).

Caractérisation

Comme pour les projecteurs, on retourne le point de vue : partant d'un endomorphisme ss, à quelle condition est-il une symétrie ? L'intuition du miroir appliqué deux fois donne la réponse.

Définition 2 : Symétrie

Soit s∈L(E)s \in \mathcal{L}(E). On dit que ss est une symétrie s'il existe deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F1F_1 et F2F_2 tels que ss soit la symétrie par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2.

Proposition 3 : Caractérisation des symétries

Soit s∈L(E)s \in \mathcal{L}(E). Alors :

s est une symeˊtrie  ⟺  s∘s=id⁡E.s \text{ est une symétrie} \iff s \circ s = \operatorname{id}_E.

Dans ce cas, Ker⁡(s−id⁡E)⊕Ker⁡(s+id⁡E)=E\operatorname{Ker}\bigl( s - \operatorname{id}_E \bigr) \oplus \operatorname{Ker}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr) = E, et ss est la symétrie par rapport à Ker⁡(s−id⁡E)\operatorname{Ker}\bigl( s - \operatorname{id}_E \bigr) parallèlement à Ker⁡(s+id⁡E)\operatorname{Ker}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr).

Démonstration :

∙\bullet Supposons que ss est la symétrie par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2, et soit pp la projection sur F1F_1 parallèlement à F2F_2. Comme s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E et p∘p=pp \circ p = p :

s∘s=(2p−id⁡E)∘(2p−id⁡E)=4 p∘p−4p+id⁡E=4p−4p+id⁡E=id⁡E.s \circ s = \bigl( 2p - \operatorname{id}_E \bigr) \circ \bigl( 2p - \operatorname{id}_E \bigr) = 4\, p \circ p - 4p + \operatorname{id}_E = 4p - 4p + \operatorname{id}_E = \operatorname{id}_E.

∙\bullet Réciproquement, supposons s∘s=id⁡Es \circ s = \operatorname{id}_E. On pose p=12(s+id⁡E)p = \frac{1}{2}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr). Alors :

p∘p=14(s∘s+2s+id⁡E)=14(id⁡E+2s+id⁡E)=12(s+id⁡E)=p,p \circ p = \frac{1}{4}\bigl( s \circ s + 2s + \operatorname{id}_E \bigr) = \frac{1}{4}\bigl( \operatorname{id}_E + 2s + \operatorname{id}_E \bigr) = \frac{1}{2}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr) = p,

donc pp est un projecteur, c'est-à-dire la projection sur Im⁡p\operatorname{Im} p parallèlement à Ker⁡p\operatorname{Ker} p. Comme s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E, l'endomorphisme ss est la symétrie par rapport à Im⁡p=Ker⁡(s−id⁡E)\operatorname{Im} p = \operatorname{Ker}(s - \operatorname{id}_E) parallèlement à Ker⁡p=Ker⁡(s+id⁡E)\operatorname{Ker} p = \operatorname{Ker}(s + \operatorname{id}_E).

Test 1

Si un endomorphisme ss vérifie s∘s=id⁡Es \circ s = \operatorname{id}_E, alors s=id⁡Es = \operatorname{id}_E.

Exercice 2 : Reconnaître une symétrie concrète

On considère l'endomorphisme ss de R2\mathbb{R}^2 défini par s(x,y)=(y,x)s(x,y) = (y, x). Montrer que ss est une symétrie, et préciser ses éléments caractéristiques.

Solution :(cliquer pour afficher)

L'application ss est linéaire (composantes linéaires en (x,y)(x,y)). De plus :

(s∘s)(x,y)=s(y,x)=(x,y),(s \circ s)(x,y) = s(y, x) = (x, y),

donc s∘s=id⁡R2s \circ s = \operatorname{id}_{\mathbb{R}^2} : d'après la caractérisation, ss est une symétrie. Déterminons ses éléments caractéristiques.

  • Ker⁡(s−id⁡)\operatorname{Ker}(s - \operatorname{id}) : s(x,y)=(x,y)  ⟺  (y,x)=(x,y)  ⟺  x=ys(x,y) = (x,y) \iff (y,x) = (x,y) \iff x = y, donc Ker⁡(s−id⁡)=vect⁡((1,1))\operatorname{Ker}(s - \operatorname{id}) = \operatorname{vect}\bigl( (1,1) \bigr).
  • Ker⁡(s+id⁡)\operatorname{Ker}(s + \operatorname{id}) : s(x,y)=−(x,y)  ⟺  (y,x)=(−x,−y)  ⟺  y=−xs(x,y) = -(x,y) \iff (y,x) = (-x,-y) \iff y = -x, donc Ker⁡(s+id⁡)=vect⁡((1,−1))\operatorname{Ker}(s + \operatorname{id}) = \operatorname{vect}\bigl( (1,-1) \bigr).

Ainsi ss est la symétrie par rapport à vect⁡((1,1))\operatorname{vect}\bigl( (1,1) \bigr) parallèlement à vect⁡((1,−1))\operatorname{vect}\bigl( (1,-1) \bigr) : c'est la symétrie par rapport à la première bissectrice.

Exercice 3 : Projecteurs et symétries se correspondent

Soit p∈L(E)p \in \mathcal{L}(E). Montrer que pp est un projecteur si et seulement si s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E est une symétrie.

Solution :(cliquer pour afficher)

Posons s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E, de sorte que p=12(s+id⁡E)p = \frac{1}{2}\bigl( s + \operatorname{id}_E \bigr). On calcule :

s∘s=(2p−id⁡E)∘(2p−id⁡E)=4 p∘p−4p+id⁡E=4(p∘p−p)+id⁡E.s \circ s = \bigl( 2p - \operatorname{id}_E \bigr) \circ \bigl( 2p - \operatorname{id}_E \bigr) = 4\, p \circ p - 4p + \operatorname{id}_E = 4\bigl( p \circ p - p \bigr) + \operatorname{id}_E.

Donc :

s∘s=id⁡E  ⟺  p∘p−p=0  ⟺  p∘p=p.s \circ s = \operatorname{id}_E \iff p \circ p - p = 0 \iff p \circ p = p.

D'après les caractérisations, s∘s=id⁡Es \circ s = \operatorname{id}_E équivaut à « ss est une symétrie » et p∘p=pp \circ p = p équivaut à « pp est un projecteur ». D'où l'équivalence : pp est un projecteur si et seulement si 2p−id⁡E2p - \operatorname{id}_E est une symétrie. Les projecteurs et les symétries sont ainsi en correspondance parfaite via s=2p−id⁡Es = 2p - \operatorname{id}_E.

Corollaire 1 : Une symétrie est un automorphisme

Soit s∈L(E)s \in \mathcal{L}(E). Si ss est une symétrie, alors ss est un automorphisme et s−1=ss^{-1} = s.

Démonstration :

Supposons que ss est une symétrie. D'après la caractérisation, s∘s=id⁡Es \circ s = \operatorname{id}_E. L'endomorphisme ss admet donc un inverse pour la composition, à savoir ss elle-même : ss est bijective, donc c'est un automorphisme, et s−1=ss^{-1} = s.