MPSI · Applications linéaires

Formes linéaires

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Dans toute cette leçon, EE désigne un K\mathbb{K}-espace vectoriel.

Question

Parmi toutes les applications linéaires au départ de EE, il en est de particulières : celles qui arrivent dans K\mathbb{K} lui-même, le corps des scalaires. Pourquoi les étudier à part ? Parce que renvoyer un scalaire, c'est mesurer un vecteur : une coordonnée, une trace, une intégrale, une somme. Ces « mesures » linéaires forment-elles à leur tour un espace vectoriel ? Et si l'on fixe une base de EE, existe-t-il des mesures privilégiées qui lisent directement les coordonnées d'un vecteur ?

Définition et exemples

Définition 1 : Forme linéaire

On appelle forme linéaire définie sur EE toute application linéaire de EE vers K\mathbb{K}.

Notation :

On note E∗E^{*} l'espace des formes linéaires définies sur EE, c'est-à-dire E∗=L(E,K)E^{*} = \mathcal{L}(E, \mathbb{K}).

Exemple :

  1. Pour a∈Ka \in \mathbb{K}, l'évaluation P⟼P(a)P \longmapsto P(a), de K[X]\mathbb{K}[X] dans K\mathbb{K}, est une forme linéaire.
  2. La trace M⟼Tr⁡(M)M \longmapsto \operatorname{Tr}(M), de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) dans K\mathbb{K}, est une forme linéaire.
  3. Pour a<ba < b, l'intégrale f⟼∫abf(t) dtf \longmapsto \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t, de C([a,b],R)\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) dans R\mathbb{R}, est une forme linéaire.
  4. La somme des coordonnées (x1,…,xn)⟼∑k=1nxk(x_1, \dots, x_n) \longmapsto \sum_{k=1}^{n} x_k, de Kn\mathbb{K}^{n} dans K\mathbb{K}, est une forme linéaire.

Toutes « mesurent » un vecteur par un scalaire. Que peut-on dire de leur image ?

Une forme linéaire arrive dans K\mathbb{K}, qui est une droite vectorielle sur lui-même : son image est un sous-espace de K\mathbb{K}, donc {0}\{0\} ou K\mathbb{K} tout entier. Il n'y a pas d'intermédiaire.

Exercice 1 : Une forme linéaire est nulle ou surjective

Montrer qu'une forme linéaire est nulle ou surjective.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit φ\varphi une forme linéaire non nulle de E∗E^{*} ; alors il existe a∈Ea \in E tel que φ(a)≠0\varphi(a) \neq 0. Soit λ∈K\lambda \in \mathbb{K}. On a :

φ ⁣(λφ(a) a)=λφ(a) φ(a)=λ.\varphi\!\left( \frac{\lambda}{\varphi(a)}\, a \right) = \frac{\lambda}{\varphi(a)}\, \varphi(a) = \lambda.

Tout scalaire λ\lambda est donc atteint : φ\varphi est surjective. Ainsi une forme linéaire est nulle, ou bien surjective.

Test 1

Toute forme linéaire non nulle sur EE est injective.

Formes linéaires coordonnées

Revenons à la question d'ouverture : une base étant fixée, existe-t-il des formes qui lisent directement les coordonnées ? On les construit en imposant leur valeur sur les vecteurs de la base — ce qui est légitime d'après le théorème de détermination.

Définition 2 : Formes linéaires coordonnées

Soit B=(ei)i∈I\mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} une base de EE. On appelle forme linéaire coordonnée d'indice ii relative à la base B\mathcal{B} la forme linéaire, notée ei∗e_i^{*}, définie par :

ei∗(ej)=δi,jpour tout j∈I.e_i^{*}(e_j) = \delta_{i,j} \quad \text{pour tout } j \in I.

Proposition 1 : Interprétation des formes coordonnées

Soit B=(ei)i∈I\mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} une base de EE. Pour tout i∈Ii \in I, la forme linéaire ei∗e_i^{*} associe à tout vecteur de EE sa coordonnée d'indice ii dans la base B\mathcal{B}.

Démonstration :

Soit x∈Ex \in E. On pose x=∑j∈Ixj ejx = \sum_{j \in I} x_j\, e_j avec (xj)j∈I∈K(I)(x_j)_{j \in I} \in \mathbb{K}^{(I)}. Par linéarité :

ei∗(x)=ei∗(∑j∈Ixj ej)=∑j∈Ixj ei∗(ej)=∑j∈Ixj δi,j=xi.e_i^{*}(x) = e_i^{*}\Bigl( \sum_{j \in I} x_j\, e_j \Bigr) = \sum_{j \in I} x_j\, e_i^{*}(e_j) = \sum_{j \in I} x_j\, \delta_{i,j} = x_i.

Donc ei∗(x)=xie_i^{*}(x) = x_i.

Exemple :

Sur K[X]\mathbb{K}[X] muni de la base (Xk)k∈N(X^k)_{k \in \mathbb{N}}, pour P=∑k=0nak XkP = \sum_{k=0}^{n} a_k\, X^{k}, on a (Xi)∗(P)=ai\bigl( X^{i} \bigr)^{*}(P) = a_i : la forme coordonnée d'indice ii lit le coefficient de XiX^i.

Exercice 2 : Base duale

Soit (ei)i∈⟦1,n⟧(e_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} une base de EE. Montrer que (ei∗)i∈⟦1,n⟧(e_i^{*})_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} est une base de E∗E^{*}.

Solution :(cliquer pour afficher)

∙\bullet Génératrice. Soit φ∈E∗\varphi \in E^{*}. Cherchons (λi)1⩽i⩽n∈Kn(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{K}^{n} tel que φ=∑i=1nλi ei∗\varphi = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, e_i^{*}. Pour tout ii, en évaluant en eie_i :

φ(ei)=∑j=1nλj ej∗(ei)=λi.\varphi(e_i) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j\, e_j^{*}(e_i) = \lambda_i.

Ainsi φ=∑i=1nφ(ei) ei∗\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^{*}, donc (ei∗)1⩽i⩽n(e_i^{*})_{1 \leqslant i \leqslant n} engendre E∗E^{*}.

∙\bullet Libre. Soit (λi)1⩽i⩽n∈Kn(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{K}^{n} tel que ∑i=1nλi ei∗=0\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, e_i^{*} = 0. Pour tout ii, en évaluant en eie_i :

∑j=1nλj ej∗(ei)=λi=0.\sum_{j=1}^{n} \lambda_j\, e_j^{*}(e_i) = \lambda_i = 0.

Donc (ei∗)1⩽i⩽n(e_i^{*})_{1 \leqslant i \leqslant n} est libre.

D'où (ei∗)1⩽i⩽n(e_i^{*})_{1 \leqslant i \leqslant n} est une base de E∗E^{*}, appelée base duale de (ei)1⩽i⩽n(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}.