Projections

Pour chaque application, on exhibe la décomposition unique $x = x_1 + x_2$ associée à la somme directe : l'application renvoie alors précisément la composante $x_1$, ce qui en fait la projection sur le premier facteur parallèlement au second.

1. On a $\mathbb{C} = \mathbb{R} \oplus i\mathbb{R}$ comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Pour $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, la décomposition $z = \underbrace{a}_{\in \mathbb{R}} + \underbrace{ib}_{\in i\mathbb{R}}$ est l'unique décomposition, et $\operatorname{Re}(z) = a$ en est la composante sur $\mathbb{R}$. Donc $\operatorname{Re}$ est la projection sur $\mathbb{R}$ parallèlement à $i\mathbb{R}$.

2. On a $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{K}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{K})$. Pour $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ :

car $\bigl( \tfrac{1}{2}(M + M^{\mathsf{T}}) \bigr)^{\mathsf{T}} = \tfrac{1}{2}(M^{\mathsf{T}} + M)$ (matrice symétrique) et $\bigl( \tfrac{1}{2}(M - M^{\mathsf{T}}) \bigr)^{\mathsf{T}} = -\tfrac{1}{2}(M - M^{\mathsf{T}})$ (matrice antisymétrique). L'application $\varphi(M)$ est la composante symétrique, donc $\varphi$ est la projection sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{K})$ parallèlement à $\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$.

3. On a $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$ (fonctions paires $\oplus$ fonctions impaires). Pour $f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ :

L'application $\Psi(f)$ est la partie paire, donc $\Psi$ est la projection sur $\mathcal{P}$ parallèlement à $\mathcal{I}$.

4. Vérifions d'abord $F \oplus G = \mathbb{R}^3$. Si $(x,y,z) \in F \cap G$, alors $x = y = z$ et $x + y + z = 0$, donc $3x = 0$, d'où $(x,y,z) = (0,0,0)$ : ainsi $F \cap G = \{0\}$. Pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :

Le premier terme est dans $F$ (la somme de ses coordonnées vaut $\tfrac{(2x-y-z)+(2y-x-z)+(2z-x-y)}{3} = 0$) et le second dans $G$ (ses trois coordonnées sont égales). Donc $\mathbb{R}^3 = F + G$, d'où $F \oplus G = \mathbb{R}^3$. L'application $p$ renvoie la composante sur $F$ : c'est la projection sur $F$ parallèlement à $G$.

L'application $q : (x,y,z) \longmapsto \left( \tfrac{x+y+z}{3},\ \tfrac{x+y+z}{3},\ \tfrac{x+y+z}{3} \right)$ renvoie la composante sur $G$ : c'est la projection sur $G$ parallèlement à $F$. On remarque que $q = \operatorname{id}_{\mathbb{R}^3} - p$ (projecteur complémentaire).

L'application $p$ est linéaire : pour $(x,y),\ (a,b) \in \mathbb{R}^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$,

De plus :

donc $p \circ p = p$ : d'après la caractérisation, $p$ est un projecteur.

• $\operatorname{Im} p = \bigl\{ (x + y,\ 0) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2 \bigr\} = \bigl\{ (t, 0) \mid t \in \mathbb{R} \bigr\} = \operatorname{vect}\bigl( (1,0) \bigr)$.
• $(x,y) \in \operatorname{Ker} p \iff x + y = 0 \iff (x,y) = x\,(1,-1)$, donc $\operatorname{Ker} p = \operatorname{vect}\bigl( (1,-1) \bigr)$.

Ainsi $p$ est la projection sur $\operatorname{vect}\bigl( (1,0) \bigr)$ parallèlement à $\operatorname{vect}\bigl( (1,-1) \bigr)$.

Posons $q = \operatorname{id}_E - p$. C'est un endomorphisme de $E$, et comme $p \circ p = p$ :

Donc $q \circ q = q$ : $q$ est un projecteur.

$\bullet$ $\operatorname{Im} q = \operatorname{Ker} p$. Soit $x \in \operatorname{Im} q$ ; il existe $y$ tel que $x = q(y) = y - p(y)$, donc $p(x) = p(y) - p \circ p(y) = 0$, ainsi $x \in \operatorname{Ker} p$. Réciproquement, si $x \in \operatorname{Ker} p$, alors $q(x) = x - p(x) = x$, donc $x \in \operatorname{Im} q$. D'où $\operatorname{Im} q = \operatorname{Ker} p$.

$\bullet$ $\operatorname{Ker} q = \operatorname{Im} p$. Soit $x \in \operatorname{Ker} q$ ; alors $x - p(x) = 0$, donc $x = p(x) \in \operatorname{Im} p$. Réciproquement, si $x \in \operatorname{Im} p$, on écrit $x = p(y)$, et $q(x) = p(y) - p \circ p(y) = 0$, donc $x \in \operatorname{Ker} q$. D'où $\operatorname{Ker} q = \operatorname{Im} p$.

L'endomorphisme $\operatorname{id}_E - p$ est donc la projection sur $\operatorname{Ker} p$ parallèlement à $\operatorname{Im} p$ : c'est le projecteur complémentaire de $p$.