MPSI · Logique et raisonnements

Raisonnement par contraposition

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Certaines implications sont pénibles dans le sens direct : l'hypothèse est molle, difficile à exploiter — « n2n^2 est pair », « x≠yx \neq y ». Mais leur négation, elle, est concrète et calculatoire. Le raisonnement par contraposition exploite cette dissymétrie : démontrer l'implication à l'envers, en niant tout.

Le principe

Question

Les implications « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} » et « ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} » disent-elles la même chose — et laquelle des deux est la plus facile à démontrer ?

Principe 1 : Raisonnement par contraposition

Soient P\mathcal{P} et Q\mathcal{Q} deux assertions.

Les assertions « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} » et « ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} » sont équivalentes.

Ainsi, pour montrer « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} », il suffit de montrer « ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} ».

L'assertion « ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} » est appelée la contraposée de l'assertion « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} ».

Démonstration :

D'après la règle « (A⇒B)⇔(¬A ou B)(\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B}) \Leftrightarrow (\neg\mathcal{A} \text{ ou } \mathcal{B}) » vue dans la leçon sur les connecteurs :

(¬Q⇒¬P)⇔(¬(¬Q) ou ¬P)⇔(Q ou ¬P)⇔(¬P ou Q)⇔(P⇒Q)(\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P}) \Leftrightarrow \big(\neg(\neg\mathcal{Q}) \text{ ou } \neg\mathcal{P}\big) \Leftrightarrow \big(\mathcal{Q} \text{ ou } \neg\mathcal{P}\big) \Leftrightarrow \big(\neg\mathcal{P} \text{ ou } \mathcal{Q}\big) \Leftrightarrow (\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q})

où l'on a utilisé ¬(¬Q)⇔Q\neg(\neg\mathcal{Q}) \Leftrightarrow \mathcal{Q} et la commutativité du « ou ».

Remarque :

Contraposée et réciproque : le point le plus confondu de tout le chapitre. Partant de P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} :

  1. Sa contraposée ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} lui est équivalente : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre.
  2. Sa réciproque Q⇒P\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P} est un énoncé indépendant : elle peut être vraie ou fausse sans que l'implication de départ en dise rien.

Sur un exemple : « x>2⇒x2>4x > 2 \Rightarrow x^2 > 4 » est vraie. Sa contraposée « x2≤4⇒x≤2x^2 \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 » est vraie — automatiquement. Sa réciproque « x2>4⇒x>2x^2 > 4 \Rightarrow x > 2 » est fausse (x=−3x = -3). Échanger n'est pas nier-et-échanger.

Rédaction :

Quand tenter la contraposition ? Quand la négation des énoncés est plus maniable que les énoncés eux-mêmes. Signaux typiques : la conclusion Q\mathcal{Q} est une non-égalité (x≠yx \neq y), une non-appartenance (x∉Qx \notin \mathbb{Q}), une propriété négative — sa négation devient une égalité ou une appartenance, sur lesquelles on peut calculer.

Gabarit de rédaction — l'annonce est obligatoire :

  1. « Montrons la contraposée : ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P}. » (l'écrire explicitement)
  2. « Soit… On suppose ¬Q\neg\mathcal{Q}. » puis dérouler avec donc, or, ainsi jusqu'à ¬P\neg\mathcal{P}.
  3. Conclure : « Par contraposition, P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}. »

Test 1 : Contraposée ou réciproque ?

La contraposée de l'implication « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} » est l'implication « Q⇒P\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P} ».

Test 2 : Une équivalence gratuite

Si l'implication « P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} » est vraie, alors l'implication « ¬Q⇒¬P\neg\mathcal{Q} \Rightarrow \neg\mathcal{P} » est vraie.

Exercices rédigés

Exercice 1 : Une fonction homographique injective

Montrer que pour tous x,y∈R\{1}x, y \in \mathbb{R} \backslash \{1\} :

x≠y  ⟹  x+1x−1≠y+1y−1x \neq y \implies \frac{x+1}{x-1} \neq \frac{y+1}{y-1}
Solution :(cliquer pour afficher)

Soient x,y∈R\{1}x, y \in \mathbb{R} \backslash \{1\}. Montrons la contraposée :

x+1x−1=y+1y−1  ⟹  x=y\frac{x+1}{x-1} = \frac{y+1}{y-1} \implies x = y

On suppose que x+1x−1=y+1y−1\dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{y+1}{y-1}.

Comme x≠1x \neq 1 et y≠1y \neq 1, les dénominateurs sont non nuls et le produit en croix est licite :

(x+1)(y−1)=(y+1)(x−1)(x+1)(y-1) = (y+1)(x-1)

En développant : xy+y−x−1=xy−y+x−1xy + y - x - 1 = xy - y + x - 1.

Donc 2y=2x2y = 2x, d'où x=yx = y.

Par contraposition, si x≠yx \neq y alors x+1x−1≠y+1y−1\dfrac{x+1}{x-1} \neq \dfrac{y+1}{y-1}.

Remarque :

Pourquoi la contraposition s'imposait-elle ? L'hypothèse directe « x≠yx \neq y » est inexploitable : aucun calcul ne démarre d'une non-égalité. Sa contraposée part d'une égalité de fractions — produit en croix, développement, simplification : la machine calculatoire tourne. Tu reconnaîtras plus tard dans cet énoncé l'injectivité de la fonction x↦x+1x−1x \mapsto \frac{x+1}{x-1}, dont la démonstration standard est exactement cette contraposition.

Exercice 2 : Parité de n²

Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : si n2n^2 est pair, alors nn est pair.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrons la contraposée : si nn est impair, alors n2n^2 est impair.

On suppose que nn est impair : il existe k∈Nk \in \mathbb{N} tel que n=2k+1n = 2k + 1.

On a :

n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1

Or 2k2+2k∈N2k^2 + 2k \in \mathbb{N}, donc n2n^2 est impair.

Par contraposition : pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, si n2n^2 est pair alors nn est pair.

Remarque :

Ici encore, le sens direct était mal engagé : de « n2n^2 pair », c'est-à-dire n2=2mn^2 = 2m, il est malaisé de redescendre à nn — il faudrait extraire une racine carrée en contrôlant la parité. La contraposée part de « nn impair », qui donne immédiatement une écriture explicite n=2k+1n = 2k+1 à injecter dans le carré. Retiens le signal : quand l'hypothèse ne fournit pas d'écriture exploitable mais que sa négation en fournit une, contrapose. Ce résultat servira dès la prochaine leçon, dans la preuve de l'irrationalité de 2\sqrt{2}.

Exercice 3 : Un produit qui force un facteur

Soient x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Montrer que si xy≠6x y \neq 6, alors x≠2x \neq 2 ou y≠3y \neq 3.

Solution :(cliquer pour afficher)

Montrons la contraposée. La négation de « x≠2x \neq 2 ou y≠3y \neq 3 » est, par la loi de De Morgan, « x=2x = 2 et y=3y = 3 » ; la négation de « xy≠6xy \neq 6 » est « xy=6xy = 6 ». La contraposée s'écrit donc :

(x=2 et y=3)  ⟹  xy=6(x = 2 \text{ et } y = 3) \implies xy = 6

On suppose que x=2x = 2 et y=3y = 3. Alors xy=2×3=6xy = 2 \times 3 = 6.

Par contraposition, si xy≠6xy \neq 6, alors x≠2x \neq 2 ou y≠3y \neq 3.

Remarque :

L'intérêt de cet exercice est le calcul préalable de la contraposée : quand les membres de l'implication sont eux-mêmes composés (« ou », « et »), il faut d'abord les nier proprement avec les règles de De Morgan — c'est la leçon sur la négation qui travaille pour celle-ci. Écrire la contraposée avant de commencer la démonstration évite la faute classique consistant à ne nier qu'un seul des deux membres.