Raisonnement direct

Le principe a deux faces, à ne pas confondre :

1. La première phrase (le modus ponens) est le moteur de tout enchaînement : « on a $\mathcal{P}$, or $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$, donc $\mathcal{Q}$ ». Chaque « donc » d'une copie est un modus ponens — l'implication invoquée étant un théorème du cours, une règle de calcul, ou une étape déjà établie.
2. La seconde phrase est la méthode pour établir une implication : supposer la prémisse, atteindre la conclusion. Supposer $\mathcal{P}$ n'affirme pas que $\mathcal{P}$ est vraie dans l'absolu — on se place temporairement dans le monde où elle l'est, et tout ce qu'on y écrit n'a de valeur que sous cette hypothèse.
3. Pourquoi cette méthode démontre-t-elle bien l'implication ? Parce que la seule configuration qui rende $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ fausse est « $\mathcal{P}$ vraie et $\mathcal{Q}$ fausse » : en vérifiant que le monde « $\mathcal{P}$ vraie » contient toujours « $\mathcal{Q}$ vraie », on exclut cette configuration. Et si $\mathcal{P}$ est fausse, l'implication est vraie d'office — il n'y a rien à faire.

Rédiger la démonstration de « $\forall\, x \in E : \mathcal{P}(x) \Rightarrow \mathcal{Q}(x)$ » — le gabarit complet :

1. Fixer la variable : « Soit $x \in E$. »
2. Supposer la prémisse : « On suppose $\mathcal{P}(x)$. » (ou « Supposons $\mathcal{P}(x)$ »).
3. Dérouler : une suite d'étapes reliées par donc, or, ainsi, d'où, alors — chaque étape justifiée par une hypothèse, un calcul ou un résultat du cours. Jamais le symbole $\Rightarrow$ entre deux étapes.
4. Conclure : la dernière ligne est $\mathcal{Q}(x)$, annoncée par « donc » ou « d'où ».

Les mots de liaison ont chacun leur emploi : or introduit un fait extérieur (hypothèse pas encore utilisée, théorème du cours) ; donc, ainsi, d'où tirent une conséquence de ce qui précède ; car justifie après coup.

Relis cette solution comme un modèle de rédaction : la variable est fixée (« Soient »), l'hypothèse est posée (« On suppose »), chaque ligne découle de la précédente ou d'un fait connu introduit par « or » ($x^2 \geq 0$ : un résultat du cours), et pas un seul symbole $\Rightarrow$ n'apparaît. C'est exactement ce qui est attendu de toi.

Deux leçons à tirer de cet exercice :

1. Une démonstration directe n'est pas forcément une suite de manipulations de l'hypothèse : ici, l'idée est un pont vers un autre chapitre (les coefficients binomiaux). Trouver le bon point de vue fait partie du travail.
2. La formule du coefficient binomial utilisée exige $n \geq 1$ (à cause du $(n-1)!$) : le cas $n = 0$ doit être traité à part. Vérifier le domaine de validité de chaque formule invoquée est un réflexe à prendre — c'est une source classique de points perdus.

La question 2 démontre en réalité l'implication « $r + x \in \mathbb{Q} \Rightarrow x \in \mathbb{Q}$ » pour en déduire sa contraposée. Ce glissement — démontrer une implication pour utiliser l'autre — est si naturel qu'on le fait sans y penser : la prochaine leçon lui donne un nom et un cadre.

Pour démontrer « $\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}$ », deux stratégies :

1. Par double implication — la stratégie par défaut. On rédige deux démonstrations directes, clairement séparées : « $(\Rightarrow)$ Supposons $\mathcal{P}$… donc $\mathcal{Q}$. » puis « $(\Leftarrow)$ Supposons $\mathcal{Q}$… donc $\mathcal{P}$. » C'est le point 3 de la proposition sur les connecteurs.
2. Par chaîne d'équivalences — uniquement quand chaque étape est réversible : « $\mathcal{P} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \mathcal{Q}$ ». À chaque maillon, se demander : l'étape retour est-elle vraie aussi ? Élever au carré, multiplier par une quantité qui peut être nulle, appliquer une fonction non injective : autant d'étapes qui ne remontent pas. Au moindre doute, revenir à la double implication.