MPSI · Logique et raisonnements

Raisonnement par disjonction des cas

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Certains énoncés résistent à une attaque frontale : aucun argument ne couvre d'un coup tous les éléments de l'ensemble. La parade est vieille comme les mathématiques — découper l'ensemble en morceaux, et traiter chaque morceau avec l'argument qui lui convient. Encore faut-il savoir ce qu'un découpage doit vérifier pour que la conclusion soit légitime.

Le principe

Question

Pour démontrer un énoncé sur tous les entiers, a-t-on le droit de traiter séparément les pairs et les impairs — et qu'est-ce qui garantit qu'à la fin, tous les entiers sont bien couverts ?

Principe 1 : Raisonnement par disjonction des cas

On suppose que E=⋃i=1pEiE = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{p} E_i.

Si pour tout i∈{1,…,p}i \in \{1, \ldots, p\}, la proposition « ∀ x∈Ei:P(x)\forall\, x \in E_i : \mathcal{P}(x) » est vraie, alors la proposition « ∀ x∈E:P(x)\forall\, x \in E : \mathcal{P}(x) » est vraie.

Démonstration :

Soit x∈Ex \in E. Comme E=⋃i=1pEiE = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{p} E_i, il existe i∈{1,…,p}i \in \{1, \ldots, p\} tel que x∈Eix \in E_i.

Or la proposition « ∀ t∈Ei:P(t)\forall\, t \in E_i : \mathcal{P}(t) » est vraie, donc P(x)\mathcal{P}(x) est vraie.

Ainsi P(x)\mathcal{P}(x) est vraie pour tout x∈Ex \in E.

Remarque :

  1. La seule exigence sur le découpage est le recouvrement : chaque élément de EE doit tomber dans au moins un cas. Les cas ont le droit de se chevaucher — un élément couvert deux fois ne gêne personne. En pratique on choisit souvent des cas disjoints (une partition), par confort, mais ce n'est pas une obligation logique.
  2. Chaque cas doit aboutir à la même conclusion P(x)\mathcal{P}(x) — éventuellement par des arguments totalement différents : c'est tout l'intérêt de la méthode.
  3. Le découpage le plus fréquent sur les entiers : les restes de la division par un entier mm (n=mkn = mk, n=mk+1n = mk+1, …, n=mk+(m−1)n = mk + (m-1)). Sur les réels : le signe, la position par rapport à un seuil.

Remarque :

Version sur les propositions : si P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} et ¬P⇒Q\neg\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} sont vraies, alors Q\mathcal{Q} est vraie. C'est la disjonction des cas appliquée aux deux seuls cas possibles — « P\mathcal{P} vraie » et « P\mathcal{P} fausse » — qui recouvrent toutes les situations puisque « P\mathcal{P} ou ¬P\neg\mathcal{P} » est toujours vraie.

Exemple :

La valeur absolue est définie par disjonction des cas : ∣x∣=x|x| = x si x≥0x \geq 0 et ∣x∣=−x|x| = -x si x<0x < 0 — et toute démonstration d'une propriété de ∣x∣|x| commence naturellement par ce découpage. De même, la parité découpe N\mathbb{N} en deux cas qui le recouvrent. Quel découpage utiliserais-tu pour étudier une expression contenant ∣x−1∣|x - 1| et ∣x+2∣|x + 2| ?

Rédaction :

Rédiger une disjonction des cas :

  1. Annoncer le découpage et vérifier mentalement qu'il recouvre tout l'ensemble : « Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Trois cas se présentent selon le reste de nn dans la division par 33. »
  2. Traiter chaque cas dans un paragraphe séparé, ouvert par « Cas 1 : si n=3kn = 3k avec k∈Nk \in \mathbb{N}… », et refermé par la conclusion visée.
  3. Conclure globalement : « Dans tous les cas, … , donc la propriété vaut pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. » Cette phrase finale est obligatoire — sans elle, on a trois résultats partiels, pas un théorème.

Test 1 : Des cas disjoints ?

Pour appliquer une disjonction des cas, les cas considérés doivent être deux à deux disjoints.

Test 2 : Deux cas, une conclusion

Si les propositions P⇒Q\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} et ¬P⇒Q\neg\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q} sont vraies, alors Q\mathcal{Q} est vraie.

Exercices rédigés

Exercice 1 : Divisibilité par 3

Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : 3∣n(n+1)(n+2)3 \mid n(n+1)(n+2).

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Tout entier naturel s'écrit sous l'une des formes 3k3k, 3k+13k+1 ou 3k+23k+2 avec k∈Nk \in \mathbb{N} : ces trois cas recouvrent N\mathbb{N}.

Cas 1 : n=3kn = 3k avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

Alors 3∣n3 \mid n, donc 3∣n(n+1)(n+2)3 \mid n(n+1)(n+2).

Cas 2 : n=3k+1n = 3k + 1 avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

On a n+2=3k+3=3(k+1)n + 2 = 3k + 3 = 3(k+1), donc 3∣n+23 \mid n+2.

Alors 3∣n(n+1)(n+2)3 \mid n(n+1)(n+2).

Cas 3 : n=3k+2n = 3k + 2 avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

On a n+1=3k+3=3(k+1)n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1), donc 3∣n+13 \mid n+1.

Alors 3∣n(n+1)(n+2)3 \mid n(n+1)(n+2).

Dans tous les cas, 3∣n(n+1)(n+2)3 \mid n(n+1)(n+2) : le résultat vaut pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Remarque :

Rapproche ce résultat de l'exercice « 6∣n(n+1)(n+2)6 \mid n(n+1)(n+2) » de la leçon précédente : le même énoncé (à peine affaibli) reçoit ici une démonstration de nature complètement différente. Un même résultat peut relever de plusieurs schémas de raisonnement — choisir le plus commode fait partie du métier.

Exercice 2 : Un cosinus périodique en n

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculer cos⁡(nπ3)\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right) en fonction de la forme de nn.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. On discute selon le reste de nn dans la division par 33.

Cas 1 : n=3kn = 3k avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

cos⁡(nπ3)=cos⁡(3kπ3)=cos⁡(kπ)=(−1)k\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3k\pi}{3}\right) = \cos(k\pi) = (-1)^k

Cas 2 : n=3k+1n = 3k + 1 avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

cos⁡((3k+1)π3)=cos⁡(kπ+π3)=cos⁡(kπ)cos⁡π3−sin⁡(kπ)sin⁡π3=(−1)k2\cos\left(\frac{(3k+1)\pi}{3}\right) = \cos\left(k\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(k\pi)\cos\frac{\pi}{3} - \sin(k\pi)\sin\frac{\pi}{3} = \frac{(-1)^k}{2}

car sin⁡(kπ)=0\sin(k\pi) = 0 et cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}.

Cas 3 : n=3k+2n = 3k + 2 avec k∈Nk \in \mathbb{N}.

cos⁡((3k+2)π3)=cos⁡(kπ+2π3)=cos⁡(kπ)cos⁡2π3=(−1)k⋅(−12)=(−1)k+12\cos\left(\frac{(3k+2)\pi}{3}\right) = \cos\left(k\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(k\pi)\cos\frac{2\pi}{3} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{(-1)^{k+1}}{2}

La valeur de cos⁡(nπ3)\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right) est ainsi déterminée dans tous les cas.

Exercice 3 : Parité d'un produit

Montrer que pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}, l'entier n2+nn^2 + n est pair.

Solution :(cliquer pour afficher)

Soit n∈Zn \in \mathbb{Z}. On a n2+n=n(n+1)n^2 + n = n(n+1). Deux cas recouvrent Z\mathbb{Z} : nn pair ou nn impair.

Cas 1 : nn est pair : il existe k∈Zk \in \mathbb{Z} tel que n=2kn = 2k.

Alors n(n+1)=2k(n+1)n(n+1) = 2k(n+1), avec k(n+1)∈Zk(n+1) \in \mathbb{Z} : c'est un entier pair.

Cas 2 : nn est impair : il existe k∈Zk \in \mathbb{Z} tel que n=2k+1n = 2k+1.

Alors n+1=2(k+1)n + 1 = 2(k+1), donc n(n+1)=2n(k+1)n(n+1) = 2n(k+1), avec n(k+1)∈Zn(k+1) \in \mathbb{Z} : c'est un entier pair.

Dans tous les cas, n2+nn^2 + n est pair.