Négation d'un énoncé et contre-exemple

1. Retiens le mécanisme : la négation traverse les quantificateurs en les échangeant — $\forall$ devient $\exists$, $\exists$ devient $\forall$ — et va se poser sur le prédicat, tout au fond. L'ordre des variables, lui, ne change jamais.
2. Pour un énoncé à plusieurs quantificateurs, on applique la règle de proche en proche :

3. Le domaine de quantification ne se nie pas : la négation de « $\forall\, x \in \mathbb{R}_+ : \mathcal{P}(x)$ » est « $\exists\, x \in \mathbb{R}_+ : \neg\mathcal{P}(x)$ » — on cherche le fautif dans le même ensemble, pas dans $\mathbb{R}_-$.

Nier un énoncé, mécaniquement — dans cet ordre :

1. Échanger chaque quantificateur ($\forall \leftrightarrow \exists$) sans toucher à l'ordre des variables ni aux ensembles.
2. Nier le prédicat final avec les règles de la leçon précédente : « et » devient « ou », « ou » devient « et », « $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ » devient « $\mathcal{P}$ et $\neg\mathcal{Q}$ ».
3. Traduire les négations élémentaires : $\neg(x < a)$ devient $x \geq a$, $\neg(x \in A)$ devient $x \notin A$, $\neg(x = y)$ devient $x \neq y$.

Le résultat ne doit plus contenir aucun symbole $\neg$.

1. $P_1$ : « $\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\ \exists\, x \in \mathbb{Q} : 0 < x < \varepsilon$ ». Sa négation : $\exists\, \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\ \forall\, x \in \mathbb{Q} : x \leq 0 \text{ ou } x \geq \varepsilon$.
2. $P_2$ : « $\exists\, x \in \mathbb{R} : x \in\, ]0, 2[\, \cap\, ]4, 3[$ ». Sa négation : $\forall\, x \in \mathbb{R} : x \notin\, ]0, 2[\ \text{ou}\ x \notin\, ]4, 3[$.
3. $P_3$ : « $\forall\, x \in \mathbb{R} : x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$ ». Sa négation : $\exists\, x \in \mathbb{R} : x > 1 \text{ et } x^2 \leq 1$.

Dans chaque cas, laquelle des deux propositions est vraie ?

L'asymétrie est totale, et il faut l'avoir comprise une fois pour toutes : pour établir « $\forall\, x \in E : \mathcal{P}(x)$ », un exemple ne prouve rien — vérifier l'énoncé sur $x = 0$, $x = 1$, $x = 7$ ne dit rien de $x = 8$ ; pour la réfuter, un seul contre-exemple suffit et clôt la discussion.

1. La proposition « $\forall\, (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 = y^2 \Leftrightarrow x = y$ » est fausse : $x = 1$ et $y = -1$ forment un contre-exemple.
2. La proposition « $\forall\, (d, m, n) \in \mathbb{N}^3 : d \mid mn \Rightarrow \big(d \mid m \text{ ou } d \mid n\big)$ » est fausse : $d = 6$, $m = 2$, $n = 3$ forment un contre-exemple.

Dans chaque cas, quelles vérifications précises font de ces valeurs des contre-exemples ?

Rédiger une réfutation par contre-exemple — trois temps, tous obligatoires :

1. Annoncer : « Montrons que la proposition est fausse. Posons $x = \ldots$ »
2. Vérifier que le candidat met l'énoncé en défaut, c'est-à-dire qu'il vérifie la négation du prédicat. Si le prédicat est une implication $\mathcal{P}(x) \Rightarrow \mathcal{Q}(x)$, il faut vérifier deux choses : $\mathcal{P}(x)$ est vraie et $\mathcal{Q}(x)$ est fausse. Un $x$ qui ne vérifie pas la prémisse n'est pas un contre-exemple.
3. Conclure : « La proposition est donc fausse. »

Et rappel de rédaction : ces vérifications s'enchaînent avec donc, or, ainsi — jamais avec le symbole $\Rightarrow$.