Variable aléatoire : définition et premiers exemples

1. On prend $\Omega = \llbracket 1,6 \rrbracket^2$, une issue étant le couple des deux résultats, et $X(i,j) = \lvert i-j \rvert$.

La valeur $0$ est atteinte (par $(1,1)$), la valeur $5$ aussi (par $(1,6)$), et toute valeur intermédiaire l'est également : $X(\Omega) = \llbracket 0,5 \rrbracket$. Enfin

2. Une issue est ici une partie à $2$ éléments de $\{b_1,b_2,b_3,n_1,n_2\}$ : on prend pour $\Omega$ l'ensemble de ces parties, de cardinal $\binom{5}{2} = 10$. Le nombre de blanches tirées vaut $0$, $1$ ou $2$, et ces trois valeurs sont atteintes : $Y(\Omega) = \{0,1,2\}$. Une seule issue ne contient aucune blanche :

Un événement à un seul élément reste un événement : ne pas confondre l'issue $\{n_1,n_2\}$ et l'événement qui la contient.

3. Décrire une répartition, c'est dire pour chaque jeton dans quel tiroir il va : on prend $\Omega = \{1,2\}^3$, l'issue $(t_1,t_2,t_3)$ signifiant « le jeton $k$ est dans le tiroir $t_k$ ». Alors $Z(t_1,t_2,t_3)$ est le nombre d'indices $k$ tels que $t_k = 1$, d'où $Z(\Omega) = \{0,1,2,3\}$, et

Deux réflexes à retenir. D'abord, le support ne se lit pas sur l'ensemble d'arrivée : $X$ arrive dans $\mathbb{R}$, mais $X(\Omega)$ est l'ensemble des valeurs effectivement atteintes, et il faut le vérifier valeur par valeur. Ensuite, plusieurs univers peuvent convenir pour une même expérience ; ce qui compte est que chaque issue soit décrite sans ambiguïté et que la variable étudiée s'y lise directement.

1.a. $\{X \geqslant 10\}$.

1.b. La somme ne vaut $12$ que si les deux dés donnent $6$ : l'événement s'écrit $\{X = 12\}$. Attention au piège : ce n'est pas $\{Y = 6\}$, qui signifie seulement « au moins un des deux dés donne $6$ ».

1.c. $\{X \in 2\mathbb{Z}+1\}$, ou encore $\overline{\{X \in 2\mathbb{Z}\}}$.

1.d. Si les deux dés donnent $m$, alors $X = 2m$ et $Y = m$ ; réciproquement, si $i \neq j$ alors $i + j < 2\max(i,j)$. L'événement s'écrit donc

C'est un bon exemple d'événement qui met en jeu deux variables aléatoires simultanément : ce qui compte n'est pas la valeur de chacune, mais la relation entre les deux.

2. $\{Y \leqslant 2\}$ : « aucun des deux dés ne dépasse $2$ », autrement dit les deux résultats sont dans $\{1,2\}$. $\{Y = 6\}$ : « au moins un des deux dés donne $6$ ».

3.

Le second mérite un temps d'arrêt : « le maximum vaut $2$ » ne signifie pas « les deux dés donnent $2$ », mais « aucun ne dépasse $2$, et au moins un l'atteint ». D'où trois issues et non une seule. La méthode sûre pour ne rien oublier : écrire $\{Y = 2\} = \{Y \leqslant 2\} \setminus \{Y \leqslant 1\}$, soit $4 - 1 = 3$ issues.

Dans tout l'exercice, deux variables aléatoires sur $\Omega$ sont égales si et seulement si elles prennent la même valeur en chaque issue : c'est une égalité d'applications, qui se vérifie donc en fixant $\omega \in \Omega$ et en discutant selon les cas.

1. Soit $\omega \in \Omega$.

• Si $\omega \in A$ : $\mathbf{1}_{\overline{A}}(\omega) = 0$ et $1 - \mathbf{1}_{A}(\omega) = 1 - 1 = 0$.
• Si $\omega \notin A$ : $\mathbf{1}_{\overline{A}}(\omega) = 1$ et $1 - \mathbf{1}_{A}(\omega) = 1 - 0 = 1$.

Les deux applications coïncident partout, donc $\mathbf{1}_{\overline{A}} = 1 - \mathbf{1}_{A}$.

2. Les deux membres ne prennent que les valeurs $0$ et $1$ ; il suffit donc de repérer où ils valent $1$. Soit $\omega \in \Omega$ :

Un produit de deux facteurs valant $0$ ou $1$ vaut $1$ exactement quand les deux facteurs valent $1$ : c'est ce qui fait du produit le traducteur exact du « et ».

3. On passe par le complémentaire, en utilisant $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ :

On reconnaît la structure de la formule du crible : le terme correctif $\mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B} = \mathbf{1}_{A \cap B}$ corrige exactement le double comptage de l'intersection.

4. L'hypothèse $X^2 = X$ signifie que pour tout $\omega \in \Omega$, $X(\omega)^2 = X(\omega)$, c'est-à-dire $X(\omega)\bigl(X(\omega) - 1\bigr) = 0$. Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est, donc $X(\omega) \in \{0,1\}$ pour tout $\omega$.

Posons $A = \{X = 1\}$, qui est bien un événement. Si $\omega \in A$, alors $X(\omega) = 1 = \mathbf{1}_{A}(\omega)$ ; si $\omega \notin A$, alors $X(\omega) \neq 1$, donc $X(\omega) = 0 = \mathbf{1}_{A}(\omega)$. Ainsi $X = \mathbf{1}_{A}$.

Ce que dit la question 4. Les indicatrices sont exactement les variables aléatoires idempotentes. Autrement dit, la correspondance $A \mapsto \mathbf{1}_{A}$ identifie les événements de $\Omega$ à une classe de variables aléatoires repérable par une simple équation algébrique. C'est ce qui permettra, plus loin, de remplacer un raisonnement ensembliste par un calcul : la preuve de l'inégalité de Markov, par exemple, consiste à comparer une indicatrice à une autre variable aléatoire.

1. $X_k$ lit la $k$-ième coordonnée de l'issue : c'est le résultat du $k$-ième lancer, codé $1$ pour pile et $0$ pour face. Ainsi $\{X_k = 1\}$ est l'événement « le $k$-ième lancer donne pile » et $\{X_k = 0\}$ l'événement « le $k$-ième lancer donne face ». Ces deux événements sont contraires l'un de l'autre, et $X_k = \mathbf{1}_{\{X_k = 1\}}$.

2.a. « Que des piles » signifie « pile au lancer $1$, et au lancer $2$, et … » : le « et » devient une intersection.

2.b. De même, « aucun pile » se lit « face à chaque lancer » :

Bien distinguer de « on n'a pas obtenu que des piles », qui est le contraire de 2.a, soit $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}\{X_k = 0\}$ : « aucun » et « pas tous » ne sont pas la même chose.

2.c. Les deux lancers coïncident s'ils donnent tous deux pile, ou tous deux face :

ce qui s'écrit plus brièvement $\{X_1 = X_n\}$.

3.a. Chaque $X_k$ vaut $1$ exactement quand le $k$-ième lancer donne pile : la somme compte donc les piles. $S_n$ est le nombre de piles obtenus au cours des $n$ lancers, et $S_n(\Omega) = \llbracket 0,n \rrbracket$.

3.b. Le nombre de faces vaut $n - S_n$. La condition demandée s'écrit

d'où l'événement $\bigl\{S_n \geqslant \tfrac{n}{2}\bigr\}$.

3.c. La pièce étant équilibrée et les lancers indépendants, toutes les suites de résultats sont équiprobables : on munit $\Omega$ de la probabilité uniforme, avec $\mathrm{Card}\,\Omega = 2^n$.

L'événement $\{S_n = j\}$ est l'ensemble des $n$-uplets de $\{0,1\}^n$ ayant exactement $j$ coordonnées égales à $1$. Se donner un tel $n$-uplet, c'est se donner l'ensemble des positions occupées par les $1$, c'est-à-dire une partie à $j$ éléments de $\llbracket 1,n \rrbracket$ : il y en a $\binom{n}{j}$. Par équiprobabilité,

Vérification. La famille $\bigl(\{S_n = j\}\bigr)_{0 \leqslant j \leqslant n}$ est le système complet associé à $S_n$ : la somme de ses probabilités doit valoir $1$. Or, d'après la formule du binôme,

Ce contrôle est à faire systématiquement dès qu'on prétend avoir décrit toutes les probabilités $\mathbb{P}(X = x)$ : c'est le seul garde-fou contre une valeur oubliée ou comptée deux fois.