Fonction de répartition

Étape 1 — la loi. On prend $\Omega = \llbracket 1,6\rrbracket^2$ muni de l'équiprobabilité, de cardinal $36$, et $X(i,j) = i+j$, de support $X(\Omega) = \llbracket 2,12\rrbracket$.

Pour $k \in \llbracket 2,12\rrbracket$, l'événement $\{X = k\}$ est l'ensemble des couples $(i, k-i)$ avec $i \in \llbracket 1,6\rrbracket$ et $k-i \in \llbracket 1,6\rrbracket$, c'est-à-dire $\max(1, k-6) \leqslant i \leqslant \min(6, k-1)$. Le nombre de tels $i$ vaut

d'où $\mathbb{P}(X = k) = \dfrac{6 - \lvert k-7 \rvert}{36}$.

Étapes 2 et 3 — le cumul. Le support est déjà rangé. On cumule de $2$ à $12$ :

En complétant les deux extrémités : $F_X(x) = 0$ pour $x < 2$, et $F_X(x) = 1$ pour $x \geqslant 12$.

Étape 4 — contrôle. La dernière valeur cumulée vaut $36/36 = 1$. Aucune valeur n'a été oubliée.

Deux remarques de lecture. D'abord, les valeurs cumulées sont ici les nombres triangulaires $1, 3, 6, 10, 15$ jusqu'à $k=7$ : c'est la traduction du fait que $\mathbb{P}(X=k)$ croît d'une unité en unité jusqu'au sommet. Ensuite, la symétrie de la loi autour de $7$ se lit sur $F_X$ sous la forme $F_X(k) + F_X(13-k) = 1 + \mathbb{P}(X=k)$ — la fonction de répartition, elle, n'est pas symétrique, et c'est normal : cumuler brise la symétrie.

1. Soit $x \in \mathbb{R}$ et $\omega$ une issue vérifiant $Y(\omega) \leqslant x$. Comme $X(\omega) \leqslant Y(\omega)$, on obtient $X(\omega) \leqslant x$ par transitivité. D'où l'inclusion

et, par croissance de la probabilité, $F_Y(x) \leqslant F_X(x)$.

2. L'inégalité est renversée, et il faut comprendre pourquoi. Si $X$ est plus petite que $Y$, elle a davantage de chances de rester en dessous de n'importe quel seuil : ses probabilités cumulées sont donc plus grandes. Autrement dit, plus une variable est grande, plus sa fonction de répartition est basse — sa montée vers $1$ est retardée. C'est la lecture graphique à retenir : sur le dessin, le graphe de $Y$ est décalé vers la droite.

3. Non. Prenons $\Omega = \{a,b\}$ équiprobable, et

Ces deux variables ont même support $\{0,1\}$ et même distribution ($\tfrac12$ sur chaque valeur), donc $F_X = F_Y$ : l'inégalité $F_Y \leqslant F_X$ est satisfaite. Pourtant $X \leqslant Y$ est faux, puisque $X(b) = 1 > 0 = Y(b)$.

Ce contre-exemple dit quelque chose d'important. La relation $X \leqslant Y$ est une comparaison issue par issue, alors que $F_Y \leqslant F_X$ ne compare que des lois. Or on a vu à la leçon précédente que la loi oublie tout de la façon dont les valeurs sont attachées aux issues : elle ne peut donc pas restituer une information de ce type.

4. Comme $x \leqslant y$, on a $\{X \leqslant x\} \subset \{X \leqslant y\}$, et la différence de ces deux ensembles est exactement l'ensemble des issues vérifiant $x < X(\omega) \leqslant y$ :

La règle de la différence pour des événements emboîtés donne alors

À retenir de la question 4. C'est la formule qui justifie à elle seule l'intérêt pratique de $F_X$ : la probabilité que $X$ tombe dans un intervalle se lit comme une simple différence de deux valeurs, sans redescendre au niveau des issues. Elle explique aussi le choix, en apparence arbitraire, des inégalités : c'est parce que $F_X$ est définie avec un $\leqslant$ que l'intervalle obtenu est ouvert à gauche et fermé à droite.

1. La fonction $F$ est en escalier et saute en $-1$, $0$, $2$ et $3$. D'après la proposition, la hauteur de chaque saut est la probabilité de la valeur correspondante, et $F$ est constante partout ailleurs, donc $\mathbb{P}(X = x) = 0$ pour tout autre $x$. Le support est $X(\Omega) = \{-1,\,0,\,2,\,3\}$ et

Contrôle : $0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 = 1$.

Pour la première probabilité, la question 4 de l'exercice précédent s'applique directement, l'intervalle étant ouvert à gauche et fermé à droite :

Pour la seconde, on passe au complémentaire : $\{X > 0\} = \overline{\{X \leqslant 0\}}$, donc

Les deux résultats coïncident, ce qui était prévisible : $X$ ne prend aucune valeur strictement supérieure à $3$.

2. Chacune viole une propriété, et une seule.

• $G$ n'est pas croissante : $G(1) = 0{,}4 < 0{,}6 = G(0{,}5)$. Elle traduirait un saut de hauteur négative, c'est-à-dire une « probabilité » égale à $-0{,}2$.
• $H$ n'a pas la bonne limite en $+\infty$ : elle est constante égale à $0{,}5$ à partir de $0$, alors que la masse totale doit valoir $1$. Il manque la moitié de la probabilité.
• $K$ n'est pas continue à droite en $0$ : on a $K(0) = 0$ tandis que $K(x) \to 0{,}5$ quand $x \to 0^+$. Cette fonction est continue à gauche — c'est ce qu'on obtiendrait en définissant les cumuls avec $\mathbb{P}(X < x)$ au lieu de $\mathbb{P}(X \leqslant x)$. Le défaut est invisible sur un dessin grossier et ne se voit qu'en regardant à quel palier appartient le point de saut : c'est la raison d'être de la convention point plein / point creux.

Ce que montre la question 2. Les trois propriétés du cours ne sont pas décoratives : chacune interdit une pathologie précise. On peut d'ailleurs démontrer qu'elles suffisent — toute fonction en escalier croissante, continue à droite, nulle avant un certain point et égale à $1$ après un autre, est la fonction de répartition d'une variable aléatoire, qu'on construit en lisant ses sauts. C'est exactement ce qu'on a fait à la question 1.

1. Supposons $X \sim Y$ : les supports coïncident et $\mathbb{P}(X = t) = \mathbb{P}(Y = t)$ pour tout $t$ du support commun $S$. Soit $x \in \mathbb{R}$. En décomposant l'événement $\{X \leqslant x\}$ sur le système complet associé à $X$ :

les deux sommes portant sur le même ensemble d'indices puisque les supports sont égaux. Noter qu'aucune issue n'a été manipulée : le raisonnement vaut donc même si $X$ et $Y$ vivent sur des espaces différents.

2. Supposons $F_X = F_Y$. La proposition de reconstruction donne, pour tout réel $x$,

en convenant que ces quantités valent $0$ hors des supports respectifs. Les deux distributions coïncident donc en tout point de $\mathbb{R}$.

Il reste à en déduire l'égalité des supports, et c'est ici que sert l'hypothèse de stricte positivité : sous cette hypothèse,

Les deux membres de droite sont égaux d'après ce qui précède, donc $X(\Omega) = Y(\Omega)$, et les deux conditions de la définition sont vérifiées : $X \sim Y$.

3. Posons $X(a) = 0$, $X(b) = 1$ et $Y(a) = Y(b) = 0$. Alors $X(\Omega) = \{0,1\}$ et $Y(\Omega) = \{0\}$ : les supports diffèrent, donc $X \nsim Y$ au sens de la définition. Pourtant $\mathbb{P}(X = 1) = \mathbb{P}(\{b\}) = 0$, de sorte que

Les deux fonctions de répartition sont identiques.

Ce qu'il faut en retenir. La fonction de répartition ne voit que les valeurs de probabilité non nulle : une valeur du support de probabilité nulle lui est invisible, exactement comme elle l'est à la distribution. La définition de $X \sim Y$ adoptée dans ce cours exige en plus l'égalité des supports, condition légèrement plus forte, et c'est tout l'écart mesuré par la question 3. Dès que le support ne contient que des valeurs de probabilité non nulle — ce qui est le cas dans toutes les situations concrètes rencontrées ensuite — l'équivalence « même loi $\iff$ même fonction de répartition » est acquise.