MPSI · Dimension finie

Dimension d'un sous-espace vectoriel et rang d'une famille

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Question

La dimension mesure la « taille » d'un espace. Si FF est un sous-espace vectoriel de EE, il est contenu dans EE : on s'attend donc à ce qu'il soit « plus petit ». Mais deux difficultés se posent. D'abord, rien ne garantit a priori que FF possède lui-même une famille génératrice finie. Ensuite, si l'on admet que dim⁡F⩽dim⁡E\dim F \leqslant \dim E, que signifie le cas d'égalité — un sous-espace strictement plus petit peut-il avoir la même dimension que EE ?

Proposition 1 : Dimension d'un sous-espace vectoriel

Si EE est de dimension finie, alors tout sous-espace vectoriel FF de EE est de dimension finie et dim⁡F⩽dim⁡E\dim F \leqslant \dim E.

Démonstration :

  • Supposons que FF est de dimension infinie. Alors il existe une suite (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de FF libre. Donc (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite libre dans EE, alors EE est de dimension infinie, ce qui est absurde. Donc FF est de dimension finie.
  • Soit (x1,…,xp)(x_1, \ldots, x_p) une base de FF. La famille (x1,…,xp)(x_1, \ldots, x_p) est libre dans EE, donc p⩽dim⁡Ep \leqslant \dim E ; ainsi dim⁡F⩽dim⁡E\dim F \leqslant \dim E.

Exemple :

Les sous-espaces vectoriels de R3\mathbb{R}^3 ne peuvent être que de dimension 00, 11, 22 ou 33 : ce sont respectivement {0}\{0\}, les droites vectorielles, les plans vectoriels, et R3\mathbb{R}^3 tout entier. La dimension classe donc entièrement les sous-espaces par « taille ».

Exercice 1 : Inclusion stricte et dimension

Soient FF et GG deux sous-espaces vectoriels d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie, tels que F⊂GF \subset G.

  1. Montrer que dim⁡F⩽dim⁡G\dim F \leqslant \dim G.
  2. Montrer que si F≠GF \neq G, alors dim⁡F<dim⁡G\dim F < \dim G.
Solution :(cliquer pour afficher)

  1. FF est un sous-espace vectoriel de GG : en effet F⊂GF \subset G, et FF est stable par combinaison linéaire puisque c'est un sous-espace vectoriel. Comme GG est de dimension finie, la proposition précédente appliquée au couple (G,F)(G, F) donne dim⁡F⩽dim⁡G\dim F \leqslant \dim G.

  2. Par contraposée, montrons que dim⁡F=dim⁡G\dim F = \dim G entraîne F=GF = G. Soit (x1,…,xp)(x_1, \ldots, x_p) une base de FF, avec p=dim⁡F=dim⁡Gp = \dim F = \dim G. C'est une famille libre de GG, de cardinal p=dim⁡Gp = \dim G : d'après la caractérisation des bases en dimension finie, c'est une base de GG. Alors

G=vect⁡(x1,…,xp)=F.G = \operatorname{vect}(x_1, \ldots, x_p) = F.

Donc si F≠GF \neq G, on ne peut pas avoir dim⁡F=dim⁡G\dim F = \dim G ; joint au point 1, cela donne dim⁡F<dim⁡G\dim F < \dim G.

Remarque :

Le point 2 de cet exercice sera utilisé constamment par la suite : dès qu'une inclusion est stricte, la dimension augmente d'au moins une unité. C'est ce qui permet d'encadrer une dimension inconnue en la coinçant entre deux sous-espaces connus.

Question

Prouver l'égalité de deux sous-espaces demande en principe une double inclusion, et l'une des deux est souvent pénible. La dimension permet-elle de s'en dispenser — une seule inclusion, plus une égalité de dimensions, suffiraient-elles à conclure ?

Proposition 2 : Cas d'égalité des dimensions

Si EE est de dimension finie et FF un sous-espace vectoriel de EE, alors F=EF = E si et seulement si dim⁡F=dim⁡E\dim F = \dim E.

Démonstration :

Si F=EF = E, alors les deux espaces ont évidemment même dimension.

Réciproquement, supposons que dim⁡F=dim⁡E\dim F = \dim E. Soit (x1,…,xn)(x_1, \ldots, x_n) une base de FF. La famille (x1,…,xn)(x_1, \ldots, x_n) est libre dans EE et de cardinal n=dim⁡En = \dim E, donc c'est une base de EE. Alors E=vect⁡(x1,…,xn)=FE = \operatorname{vect}(x_1, \ldots, x_n) = F.

Test 1

Soient FF et GG deux sous-espaces vectoriels de EE tels que dim⁡F=dim⁡G\dim F = \dim G. Alors F=GF = G.

Rédaction — Montrer que deux sous-espaces sont égaux :

Quand la double inclusion est déséquilibrée — une inclusion facile, l'autre coûteuse — on remplace la seconde par un argument de dimension.

  1. Établir l'inclusion facile, disons G⊂FG \subset F. Si G=vect⁡(u1,…,up)G = \operatorname{vect}(u_1, \ldots, u_p), il suffit de vérifier que chaque uiu_i appartient à FF.
  2. Calculer dim⁡G\dim G en exhibant une base de GG.
  3. Encadrer dim⁡F\dim F, en utilisant l'inclusion obtenue à gauche et une inclusion évidente à droite (souvent F⊂EF \subset E), puis en éliminant les valeurs impossibles.
  4. Conclure : de G⊂FG \subset F et dim⁡G=dim⁡F\dim G = \dim F, on tire G=FG = F.

Exercice 2 : Égalité de deux sous-espaces vectoriels

Soient F={(x,y,z)∈R3  /  x+y+z=0}F = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \;/\; x + y + z = 0 \right\} et G=vect⁡((1,1,−2), (−2,1,1))G = \operatorname{vect}\big( (1, 1, -2),\, (-2, 1, 1) \big). Montrer que F=GF = G.

Solution :(cliquer pour afficher)
  • On a 1+1−2=01 + 1 - 2 = 0, donc (1,1,−2)∈F(1, 1, -2) \in F. On a −2+1+1=0-2 + 1 + 1 = 0, donc (−2,1,1)∈F(-2, 1, 1) \in F. Alors vect⁡((1,1,−2), (−2,1,1))⊂F\operatorname{vect}\big( (1, 1, -2),\, (-2, 1, 1) \big) \subset F.
  • Les vecteurs (1,1,−2)(1, 1, -2) et (−2,1,1)(-2, 1, 1) sont non colinéaires, d'où ((1,1,−2), (−2,1,1))\big( (1, 1, -2),\, (-2, 1, 1) \big) est libre ; par suite, c'est une base de GG. Ainsi dim⁡G=2\dim G = 2.
  • On a G⊂F⊂R3G \subset F \subset \mathbb{R}^3, donc dim⁡G⩽dim⁡F⩽dim⁡R3\dim G \leqslant \dim F \leqslant \dim \mathbb{R}^3, c'est-à-dire 2⩽dim⁡F⩽32 \leqslant \dim F \leqslant 3. Or (1,1,1)∉F(1, 1, 1) \notin F, donc F≠R3F \neq \mathbb{R}^3, ainsi dim⁡F=2=dim⁡G\dim F = 2 = \dim G. D'où G=FG = F.

Question

Une famille de vecteurs n'est pas toujours libre : certains de ses éléments peuvent être combinaison des autres, donc n'apporter aucune information nouvelle. Comment mesurer la quantité d'information réellement contenue dans une famille — autrement dit, combien de vecteurs y sont véritablement « indépendants » ?

Définition 1 : Rang d'une famille de vecteurs

Soit F\mathcal{F} une famille finie de EE. On appelle rang de F\mathcal{F} la dimension du sous-espace vectoriel vect⁡(F)\operatorname{vect}(\mathcal{F}), et on le note rg⁡(F)\operatorname{rg}(\mathcal{F}).

Exemple :

  1. Dans R3\mathbb{R}^3, la famille ((1,0,0), (0,1,0))\big( (1,0,0),\, (0,1,0) \big) engendre un plan vectoriel, donc elle est de rang 22.
  2. Dans R3\mathbb{R}^3, la famille ((1,2,3), (2,4,6))\big( (1,2,3),\, (2,4,6) \big) engendre une droite vectorielle, car le second vecteur est le double du premier : elle est de rang 11, bien qu'elle compte deux vecteurs.
  3. Une famille (u)(u) réduite à un vecteur est de rang 11 si u≠0Eu \neq 0_E, et de rang 00 sinon.

Remarque :

  1. rg⁡(F)⩽dim⁡E\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \leqslant \dim E.
  2. F\mathcal{F} engendre vect⁡(F)\operatorname{vect}(\mathcal{F}), donc dim⁡vect⁡(F)⩽card⁡(F)\dim \operatorname{vect}(\mathcal{F}) \leqslant \operatorname{card}(\mathcal{F}) ; ainsi rg⁡(F)⩽card⁡(F)\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \leqslant \operatorname{card}(\mathcal{F}).
  3. F\mathcal{F} est libre si et seulement si rg⁡(F)=card⁡(F)\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \operatorname{card}(\mathcal{F}).

Remarque :

Le rang est ainsi coincé entre deux bornes : il ne dépasse ni le nombre de vecteurs de la famille, ni la dimension de l'espace ambiant. Le point 3 se lit comme suit : le rang chute strictement en dessous du cardinal exactement lorsque la famille contient de la redondance.

Test 2

Une famille de 33 vecteurs de R2\mathbb{R}^2 peut être de rang 33.

Rédaction — Déterminer le rang d'une famille :

  1. Chercher les relations entre les vecteurs de F\mathcal{F} : repérer un vecteur qui s'écrit comme combinaison linéaire des autres.
  2. Le supprimer : si uk∈vect⁡u_k \in \operatorname{vect} des autres vecteurs, alors le sous-espace engendré ne change pas quand on retire uku_k. Recommencer tant que l'on trouve des relations.
  3. Prouver que la famille restante est libre, en résolvant la combinaison linéaire nulle.
  4. Conclure : cette famille est une base de vect⁡(F)\operatorname{vect}(\mathcal{F}), et le rang est son cardinal.

Exercice 3 : Rang d'une famille de vecteurs de ℝ³

Soit F=((1,2,3), (3,2,1), (1,1,1))\mathcal{F} = \big( (1, 2, 3),\, (3, 2, 1),\, (1, 1, 1) \big). Déterminer le rang de F\mathcal{F}.

Solution :(cliquer pour afficher)

On a (1,1,1)=14 (1,2,3)+14 (3,2,1)(1, 1, 1) = \frac{1}{4}\,(1, 2, 3) + \frac{1}{4}\,(3, 2, 1), donc vect⁡(F)=vect⁡((1,2,3), (3,2,1))\operatorname{vect}(\mathcal{F}) = \operatorname{vect}\big( (1, 2, 3),\, (3, 2, 1) \big).

Or (1,2,3)(1, 2, 3) et (3,2,1)(3, 2, 1) sont non colinéaires, donc ((1,2,3), (3,2,1))\big( (1, 2, 3),\, (3, 2, 1) \big) est une base de vect⁡(F)\operatorname{vect}(\mathcal{F}).

D'où rg⁡(F)=2\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = 2.

Exercice 4 : Rang d'une famille dépendant d'un paramètre

Soit a∈Ra \in \mathbb{R}. On pose

Fa=((1,1,1), (1,a,1), (1,1,a)).\mathcal{F}_a = \big( (1, 1, 1),\, (1, a, 1),\, (1, 1, a) \big).

Déterminer rg⁡(Fa)\operatorname{rg}(\mathcal{F}_a) en fonction de aa.

Solution :(cliquer pour afficher)

Notons u1=(1,1,1)u_1 = (1,1,1), u2=(1,a,1)u_2 = (1,a,1) et u3=(1,1,a)u_3 = (1,1,a).

Cas a=1a = 1. On a u1=u2=u3=(1,1,1)u_1 = u_2 = u_3 = (1,1,1), donc vect⁡(F1)=vect⁡((1,1,1))\operatorname{vect}(\mathcal{F}_1) = \operatorname{vect}\big( (1,1,1) \big), qui est une droite vectorielle. D'où rg⁡(F1)=1\operatorname{rg}(\mathcal{F}_1) = 1.

Cas a≠1a \neq 1. On remarque que

u2−u1=(0, a−1, 0)=(a−1) (0,1,0),u3−u1=(0, 0, a−1)=(a−1) (0,0,1).u_2 - u_1 = (0,\, a-1,\, 0) = (a-1)\,(0,1,0), \qquad u_3 - u_1 = (0,\, 0,\, a-1) = (a-1)\,(0,0,1).

Comme a−1≠0a - 1 \neq 0, les vecteurs (0,1,0)(0,1,0) et (0,0,1)(0,0,1) appartiennent à vect⁡(Fa)\operatorname{vect}(\mathcal{F}_a). Réciproquement, u2u_2 et u3u_3 s'expriment à partir de u1u_1, (0,1,0)(0,1,0) et (0,0,1)(0,0,1). Donc

vect⁡(Fa)=vect⁡((1,1,1), (0,1,0), (0,0,1)).\operatorname{vect}(\mathcal{F}_a) = \operatorname{vect}\big( (1,1,1),\, (0,1,0),\, (0,0,1) \big).

Cette dernière famille est libre : si α (1,1,1)+β (0,1,0)+γ (0,0,1)=(0,0,0)\alpha\,(1,1,1) + \beta\,(0,1,0) + \gamma\,(0,0,1) = (0,0,0), la première coordonnée donne α=0\alpha = 0, puis β=0\beta = 0 et γ=0\gamma = 0. Elle est de cardinal 3=dim⁡R33 = \dim \mathbb{R}^3, c'est donc une base de R3\mathbb{R}^3.

Ainsi vect⁡(Fa)=R3\operatorname{vect}(\mathcal{F}_a) = \mathbb{R}^3 et rg⁡(Fa)=3\operatorname{rg}(\mathcal{F}_a) = 3.

Conclusion. rg⁡(Fa)=1\operatorname{rg}(\mathcal{F}_a) = 1 si a=1a = 1, et rg⁡(Fa)=3\operatorname{rg}(\mathcal{F}_a) = 3 sinon. En particulier, Fa\mathcal{F}_a est une base de R3\mathbb{R}^3 si et seulement si a≠1a \neq 1.