MPSI · Intégration

Intégrales généralisées sur [a, +∞[

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Toute la première partie du chapitre reposait sur deux hypothèses de finitude : l'intervalle d'intégration était un segment, et la fonction y était bornée. L'objectif de cette seconde partie est de lever ces restrictions. On commence par la plus simple : l'intervalle devient une demi-droite [a,+∞[[a, +\infty[, la fonction restant continue par morceaux sur tout segment qu'elle contient.

Dans toute la leçon, K\mathbb{K} désigne R\mathbb{R} ou C\mathbb{C} et aa un réel.

Vocabulaire :

Dire qu'une fonction ff est continue par morceaux sur [a,+∞[[a,+\infty[ signifie qu'elle est continue par morceaux sur tout segment [a,x][a,x] avec x⩾ax \geqslant a. Ce n'est pas la même chose que d'exiger une subdivision adaptée finie sur [a,+∞[[a,+\infty[ tout entier : une telle fonction peut avoir une infinité de discontinuités, pourvu qu'elles ne s'accumulent nulle part.

Convergence d'une intégrale sur une demi-droite

Question

Pour ff continue par morceaux sur [a,+∞[[a,+\infty[, la quantité ∫axf\displaystyle\int_a^x f a un sens pour chaque x⩾ax \geqslant a : c'est l'aire accumulée depuis aa. Cette aire grandit à mesure que xx avance. Peut-elle rester finie lorsqu'on pousse xx jusqu'à l'infini — autrement dit, une région non bornée peut-elle avoir une aire finie ?

Définition 1 : Intégrale généralisée convergente

Soit f:[a,+∞[→Kf : [a, +\infty[ \to \mathbb{K} continue par morceaux. L'intégrale ∫a+∞f\displaystyle \int_a^{+\infty} f est dite convergente si la fonction x↦∫axfx \mapsto \displaystyle \int_a^x f admet une limite dans K\mathbb{K} en +∞+\infty. En cas de convergence, cette limite se note ∫a+∞f\displaystyle \int_a^{+\infty} f ou ∫a+∞f(t) dt\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t, et on dit que l'intégrale converge en +∞+\infty.

afLaF
L'aire accumulée F(x) = ∫ₐˣ f grandit avec x. Lorsqu'elle se stabilise en une valeur finie L, l'intégrale converge ; la région non bornée sous la courbe a une aire finie.

Remarque :

Si ff est à valeurs dans R+\mathbb{R}^+ et d'intégrale divergente, on écrit ∫a+∞f=+∞\displaystyle \int_a^{+\infty} f = +\infty.

Exemple :

∫0+∞e−t dt\displaystyle\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t converge et vaut 11 : en effet ∫0xe−t dt=1−e−x\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1 - \mathrm{e}^{-x}, qui tend vers 11. La région sous la courbe s'étend à l'infini et pourtant son aire vaut exactement celle du carré unité. À l'inverse, ∫1+∞dtt\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t} diverge, puisque ∫1xdtt=ln⁡x→+∞\displaystyle\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln x \to +\infty. Deux fonctions qui tendent toutes deux vers 00 : qu'est-ce qui les sépare ?

Question

La définition fait intervenir la borne aa. Si l'on décidait de partir d'un autre point, la réponse — convergente ou divergente — pourrait-elle changer ? Autrement dit : la nature d'une intégrale généralisée est-elle une propriété de la fonction sur toute la demi-droite, ou seulement de son comportement au voisinage de +∞+\infty ?

Proposition 1 : La nature ne dépend que du comportement en +∞

Soit ff continue par morceaux sur [a,+∞[[a,+\infty[ et b⩾ab \geqslant a. Alors ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f converge si, et seulement si, ∫b+∞f\displaystyle\int_b^{+\infty} f converge, et dans ce cas

∫a+∞f=∫abf+∫b+∞f.\int_a^{+\infty} f = \int_a^{b} f + \int_b^{+\infty} f.

Démonstration :

Pour tout x⩾bx \geqslant b, la relation de Chasles sur le segment [a,x][a,x] donne

∫axf=∫abf+∫bxf,\int_a^{x} f = \int_a^{b} f + \int_b^{x} f,

où ∫abf\displaystyle\int_a^b f est une constante indépendante de xx. Les deux fonctions x↦∫axfx \mapsto \displaystyle\int_a^x f et x↦∫bxfx \mapsto \displaystyle\int_b^x f diffèrent donc d'une constante : l'une admet une limite finie en +∞+\infty si et seulement si l'autre en admet une, et le passage à la limite dans l'égalité ci-dessus donne la formule annoncée.

Remarque :

C'est un principe qu'on utilisera sans le citer : pour étudier la nature de ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f, on peut remplacer aa par n'importe quel réel plus grand. Toute hypothèse « au voisinage de +∞+\infty » est donc exploitable telle quelle : si une majoration ne vaut qu'à partir d'un certain rang AA, on travaille sur [A,+∞[[A,+\infty[ et l'on conclut sur [a,+∞[[a,+\infty[.

Test 1 : Limite nulle et convergence

Si ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f converge, alors f(x)→x→+∞0f(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0.

Test 2 : La réciproque

Si ff est positive et f(x)→x→+∞0f(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0, alors ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f converge.

Le reste d'une intégrale convergente

Question

Quand ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f converge, il reste, au-delà de xx, une aire ∫x+∞f\displaystyle\int_x^{+\infty} f — le reste. Cette quantité est une fonction de xx : quelle est sa régularité, et que vaut sa dérivée ?

Proposition 2

Si ∫a+∞f\displaystyle \int_a^{+\infty} f converge et ff est continue, alors x↦∫x+∞fx \mapsto \displaystyle \int_x^{+\infty} f est dérivable sur [a,+∞[[a, +\infty[, de dérivée −f-f.

Démonstration :

Notons L=∫a+∞fL = \displaystyle\int_a^{+\infty} f et, pour x⩾ax \geqslant a, F(x)=∫axfF(x) = \displaystyle\int_a^x f, de sorte que F(x)→LF(x) \to L quand x→+∞x \to +\infty.

  • Le reste est bien défini. Soit x⩾ax \geqslant a. D'après la proposition précédente, ∫x+∞f\displaystyle\int_x^{+\infty} f converge, et

    ∫x+∞f=∫a+∞f−∫axf=L−F(x).\int_x^{+\infty} f = \int_a^{+\infty} f - \int_a^{x} f = L - F(x).

  • Dérivabilité. La fonction ff étant continue sur [a,+∞[[a,+\infty[, le théorème fondamental du calcul intégral s'applique sur cet intervalle : FF est dérivable avec F′=fF' = f. Donc x↦L−F(x)x \mapsto L - F(x) est dérivable de dérivée −f-f.

Remarque :

La démonstration donne au passage une identité constamment utilisée :

∫x+∞f→x→+∞0.\int_x^{+\infty} f \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0 .

En effet ce reste vaut L−F(x)L - F(x), et F(x)→LF(x) \to L. Une intégrale convergente a donc toujours un reste qui tend vers 00 — c'est l'analogue exact du reste d'une série convergente.

Le cas des fonctions positives

Question

Pour une fonction positive, l'aire accumulée F(x)=∫axfF(x) = \displaystyle\int_a^x f ne peut que croître : elle n'a donc que deux comportements possibles à l'infini, se stabiliser ou exploser. Ne peut-on pas, dans ce cas privilégié, décider de la convergence sans calculer aucune limite, par un simple argument de majoration ?

Proposition 3 : Fonctions positives

Si ff est continue par morceaux sur [a,+∞[[a, +\infty[ et à valeurs positives, alors ∫a+∞f\displaystyle \int_a^{+\infty} f converge si, et seulement si, la fonction x↦∫axfx \mapsto \displaystyle \int_a^x f est majorée.

Démonstration :

Posons F(x)=∫axfF(x) = \displaystyle\int_a^x f pour x⩾ax \geqslant a.

  • FF est croissante. Soient a⩽x⩽ya \leqslant x \leqslant y. La relation de Chasles donne F(y)−F(x)=∫xyf⩾0F(y) - F(x) = \displaystyle\int_x^y f \geqslant 0 par positivité de l'intégrale, ff étant positive sur [x,y][x,y].

  • Conclusion. Si FF est majorée, le théorème de la limite monotone assure que FF admet une limite finie en +∞+\infty (à savoir sup⁡x⩾aF(x)\sup_{x \geqslant a} F(x)) : l'intégrale converge. Réciproquement, si l'intégrale converge, FF est croissante et admet une limite finie LL : elle est alors majorée par LL.

Remarque :

Cet énoncé n'a aucun analogue pour une fonction de signe quelconque : la croissance de FF y est essentielle. Pour f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t sur [0,+∞[[0,+\infty[, la fonction F(x)=1−cos⁡xF(x) = 1 - \cos x est bornée, et pourtant elle n'a pas de limite en +∞+\infty : l'intégrale diverge.

Question

Une fois ce critère acquis, la majoration la plus naturelle consiste à comparer ff à une fonction dont on connaît déjà la nature. Que peut-on conclure de 0⩽f⩽g0 \leqslant f \leqslant g ?

Théorème 1 : Théorème de comparaison, fonctions positives

Si ff et gg sont continues par morceaux sur [a,+∞[[a, +\infty[ et vérifient 0⩽f⩽g0 \leqslant f \leqslant g, alors la convergence de ∫a+∞g\displaystyle \int_a^{+\infty} g implique celle de ∫a+∞f\displaystyle \int_a^{+\infty} f.

Le résultat s'applique en particulier si f(x)=x→+∞O(g(x))f(x) \underset{x \to +\infty}{=} \mathrm{O}\bigl(g(x)\bigr) ou si f(x)=x→+∞o(g(x))f(x) \underset{x \to +\infty}{=} \mathrm{o}\bigl(g(x)\bigr).

gfa
Comparaison : sous la courbe de g, l'aire est finie ; celle de f, coincée entre l'axe et g, l'est donc aussi. La flèche rappelle que l'inégalité n'a besoin de valoir qu'au voisinage de +∞.

Démonstration :

  • Cas 0⩽f⩽g0 \leqslant f \leqslant g sur [a,+∞[[a,+\infty[. Pour tout x⩾ax \geqslant a, la croissance de l'intégrale sur le segment [a,x][a,x] donne

    ∫axf⩽∫axg⩽∫a+∞g,\int_a^x f \leqslant \int_a^x g \leqslant \int_a^{+\infty} g,

    la seconde inégalité venant de ce que x↦∫axgx \mapsto \displaystyle\int_a^x g est croissante (fonction positive) et de limite ∫a+∞g\displaystyle\int_a^{+\infty} g : elle est donc majorée par cette limite. Ainsi x↦∫axfx \mapsto \displaystyle\int_a^x f est majorée, et la proposition précédente conclut à la convergence.

  • Cas f=O(g)f = \mathrm{O}(g) en +∞+\infty. Par définition, il existe A⩾aA \geqslant a et C>0C > 0 tels que 0⩽f(t)⩽C g(t)0 \leqslant f(t) \leqslant C\,g(t) pour tout t⩾At \geqslant A. Comme ∫a+∞g\displaystyle\int_a^{+\infty} g converge, ∫A+∞g\displaystyle\int_A^{+\infty} g converge aussi, donc ∫A+∞Cg\displaystyle\int_A^{+\infty} C g également, par linéarité de la limite. Le premier point appliqué sur [A,+∞[[A,+\infty[ donne la convergence de ∫A+∞f\displaystyle\int_A^{+\infty} f, puis celle de ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f puisque la nature ne dépend pas de la borne inférieure.

  • Cas f=o(g)f = \mathrm{o}(g). C'est un cas particulier du précédent, toute fonction négligeable devant gg étant dominée par gg.

Test 3 : Sens de la comparaison

Si 0⩽f⩽g0 \leqslant f \leqslant g et si ∫a+∞f\displaystyle\int_a^{+\infty} f converge, alors ∫a+∞g\displaystyle\int_a^{+\infty} g converge.

Intégrales de référence

Question

Un théorème de comparaison ne sert à rien sans une réserve de fonctions dont la nature est connue d'avance. Lesquelles choisir ? Il faut une famille assez riche pour encadrer tous les comportements usuels, et assez simple pour que le calcul soit explicite.

Proposition 4 : Intégrales de référence

  1. Intégrale de Riemann : pour α∈R\alpha \in \mathbb{R}, ∫1+∞dttα\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} converge si, et seulement si, α>1\alpha > 1.
  2. Pour λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, ∫0+∞e−λt dt\displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda t} \, \mathrm{d}t converge si, et seulement si, λ>0\lambda > 0, et vaut alors 1λ\dfrac{1}{\lambda}.

Démonstration :

1. La fonction t↦t−αt \mapsto t^{-\alpha} est continue sur [1,+∞[[1,+\infty[.

Si α≠1\alpha \neq 1, une primitive est t↦t1−α1−αt \mapsto \dfrac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}, d'où

∫1xdttα=x1−α−11−α.\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}} = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}.

Or x1−α=e(1−α)ln⁡xx^{1-\alpha} = \mathrm{e}^{(1-\alpha)\ln x} admet une limite finie en +∞+\infty si et seulement si 1−α<01 - \alpha < 0, cette limite valant alors 00 ; si 1−α>01-\alpha > 0, x1−α→+∞x^{1-\alpha} \to +\infty. L'intégrale converge donc exactement pour α>1\alpha > 1, et vaut alors 1α−1\dfrac{1}{\alpha - 1}.

Si α=1\alpha = 1, ∫1xdtt=ln⁡x→+∞\displaystyle\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln x \to +\infty : l'intégrale diverge. Le cas α=1\alpha = 1 est donc bien du côté de la divergence.

2. La fonction t↦e−λtt \mapsto \mathrm{e}^{-\lambda t} est continue sur [0,+∞[[0,+\infty[.

Si λ≠0\lambda \neq 0, ∫0xe−λt dt=1−e−λxλ\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = \frac{1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\lambda}. Pour λ>0\lambda > 0, e−λx→0\mathrm{e}^{-\lambda x} \to 0 et la limite vaut 1λ\dfrac{1}{\lambda} ; pour λ<0\lambda < 0, e−λx→+∞\mathrm{e}^{-\lambda x} \to +\infty et l'intégrale diverge.

Si λ=0\lambda = 0, ∫0x1 dt=x→+∞\displaystyle\int_0^x 1\,\mathrm{d}t = x \to +\infty : divergence.

Exemple :

∫1+∞dtt2\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^2} converge (α=2>1\alpha = 2 > 1), ∫1+∞dtt\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt t} diverge (α=12⩽1\alpha = \tfrac12 \leqslant 1), et ∫0+∞e−3t dt=13\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-3t}\,\mathrm{d}t = \tfrac13. La frontière α=1\alpha = 1 est du côté divergent. Pourquoi l'exposant critique n'est-il pas le même que sur ]0,1]\left]0,1\right], où l'on verra que c'est α<1\alpha < 1 qui convient ?

Rédaction — Étudier la nature d'une intégrale sur [a, +∞[ :

  1. Vérifier que le seul problème est en +∞+\infty : ff doit être continue par morceaux sur [a,+∞[[a,+\infty[ tout entier. Une singularité en un point fini relève d'une autre étude (voir la leçon sur les intervalles quelconques).

  2. Déterminer un équivalent ou un ordre de grandeur de f(t)f(t) quand t→+∞t \to +\infty. C'est l'étape qui demande le travail : développements limités, croissances comparées.

  3. Si ff est de signe constant au voisinage de +∞+\infty, comparer à une intégrale de référence :

    Comportement de f(t)f(t) en +∞+\inftyConclusion
    f(t)=O ⁣(1tα)f(t) = \mathrm{O}\!\left(\tfrac{1}{t^{\alpha}}\right) avec α>1\alpha > 1converge
    f(t)∼Ctαf(t) \sim \tfrac{C}{t^{\alpha}}, C≠0C \neq 0, α>1\alpha > 1converge
    f(t)∼Ctαf(t) \sim \tfrac{C}{t^{\alpha}}, C≠0C \neq 0, α⩽1\alpha \leqslant 1diverge
    f(t)=O ⁣(e−λt)f(t) = \mathrm{O}\!\left(\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) avec λ>0\lambda > 0converge

  4. Le réflexe tαf(t)t^{\alpha}f(t) : chercher α>1\alpha > 1 tel que tαf(t)→0t^{\alpha}f(t) \to 0. Alors f(t)=o ⁣(1tα)f(t) = \mathrm{o}\!\left(\tfrac{1}{t^{\alpha}}\right) et l'intégrale converge. C'est la formulation la plus maniable du critère.

  5. Si ff change de signe indéfiniment, aucun de ces critères ne s'applique directement : il faut passer par ∣f∣\lvert f \rvert — c'est l'objet de la leçon suivante.

Exercice 1 : Quatre natures à déterminer

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. ∫1+∞t+1t3+2 dt\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{t + 1}{t^3 + 2}\,\mathrm{d}t ;
  2. ∫1+∞dtt+ln⁡t\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t + \ln t} ;
  3. ∫0+∞t5 e−t dt\displaystyle\int_0^{+\infty} t^{5}\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t ;
  4. ∫1+∞(1−cos⁡1t)dt\displaystyle\int_1^{+\infty} \left(1 - \cos\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t.
Solution :(cliquer pour afficher)

1. L'intégrande est continu et positif sur [1,+∞[[1,+\infty[. Quand t→+∞t \to +\infty,

t+1t3+2∼tt3=1t2.\frac{t+1}{t^3+2} \sim \frac{t}{t^3} = \frac{1}{t^2}.

Comme ∫1+∞dtt2\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^2} converge (α=2>1\alpha = 2 > 1) et que les deux fonctions sont positives, l'intégrale converge. (L'équivalence donne en particulier l'encadrement 12t2⩽f(t)⩽2t2\tfrac{1}{2t^2} \leqslant f(t) \leqslant \tfrac{2}{t^2} au voisinage de +∞+\infty, ce qui légitime la comparaison.)

2. L'intégrande est continu et positif sur [1,+∞[[1,+\infty[, et t+ln⁡t∼tt + \ln t \sim t, donc 1t+ln⁡t∼1t\dfrac{1}{t+\ln t} \sim \dfrac1t. Comme ∫1+∞dtt\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t} diverge, l'intégrale diverge.

3. L'intégrande est continu et positif sur [0,+∞[[0,+\infty[. Par croissances comparées,

t2×t5e−t=t7e−t→t→+∞0,t^{2}\times t^{5}\mathrm{e}^{-t} = t^{7}\mathrm{e}^{-t} \xrightarrow[t\to+\infty]{} 0,

donc t5e−t=o ⁣(1t2)t^5\mathrm{e}^{-t} = \mathrm{o}\!\left(\tfrac{1}{t^2}\right) et l'intégrale converge par comparaison avec l'intégrale de Riemann d'exposant 22.

4. L'intégrande est continu et positif sur [1,+∞[[1,+\infty[ (car cos⁡u⩽1\cos u \leqslant 1). Quand t→+∞t \to +\infty, on pose u=1t→0u = \tfrac1t \to 0 et l'on utilise 1−cos⁡u∼u221 - \cos u \sim \tfrac{u^2}{2} :

1−cos⁡1t∼12t2.1 - \cos\frac1t \sim \frac{1}{2t^2}.

L'intégrale converge, par comparaison avec ∫1+∞dtt2\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}.

Test 4 : Exposant critique en +∞

L'intégrale ∫1+∞dtt\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t} diverge.