Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Traitons le cas $I = [a,b[$ ; le cas général s'y ramène en coupant en un point $c$. Notons $\mathcal{V}$ l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur $I$ dont l'intégrale converge.

• $\mathcal{V}$ est un espace vectoriel et l'intégrale y est linéaire. Soient $f, g \in \mathcal{V}$ et $\lambda \in \mathbb{K}$. La fonction $\lambda f + g$ est continue par morceaux sur $I$, et pour $x \in I$, la linéarité de l'intégrale sur le segment $[a,x]$ donne

  $$\int_a^x (\lambda f + g) = \lambda \int_a^x f + \int_a^x g .$$

  Le membre de droite admet une limite finie quand $x \to b^{-}$, par opérations sur les limites ; donc le membre de gauche aussi. Ainsi $\lambda f + g \in \mathcal{V}$ — et $\mathcal{V}$ contient la fonction nulle — et le passage à la limite donne la linéarité.

• Positivité. Si $f \in \mathcal{V}$ est à valeurs réelles positives, alors $\displaystyle\int_a^x f \geqslant 0$ pour tout $x$ par positivité sur le segment, et la limite d'une famille de réels positifs est positive.

• Chasles. Soit $c \in I$. Pour $x \in I$ avec $x \geqslant c$, la relation de Chasles sur les segments donne $\displaystyle\int_a^x f = \int_a^c f + \int_c^x f$. En faisant tendre $x$ vers $b^{-}$, les deux intégrales généralisées convergent simultanément et $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.

Fixons $c \in I$ et notons $I^{-} = I \cap \left]-\infty,c\right]$ et $I^{+} = I \cap [c,+\infty[$, de sorte que $I = I^{-} \cup I^{+}$ et $I^{-} \cap I^{+} = \{c\}$.

Par définition, $f$ est intégrable sur $I$ si et seulement si $\displaystyle\int_I \lvert f\rvert$ converge. Or $\lvert f\rvert$ est positive : d'après la définition de la convergence sur un intervalle ouvert appliquée à $\lvert f \rvert$, l'intégrale $\displaystyle\int_I\lvert f\rvert$ converge si et seulement si $\displaystyle\int_{I^{-}}\lvert f\rvert$ et $\displaystyle\int_{I^{+}}\lvert f\rvert$ convergent toutes deux — c'est-à-dire si et seulement si $f$ est intégrable sur $I^{-}$ et sur $I^{+}$.

L'additivité résulte alors de la relation de Chasles établie ci-dessus, appliquée à $f$ dont l'intégrale converge (l'intégrabilité entraînant la convergence).

Supposons $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, et soient $\alpha, \beta \in I$ avec $\alpha < \beta$. L'intégration par parties sur le segment $[\alpha,\beta]$ donne

Faisons tendre $\alpha \to a^{+}$ et $\beta \to b^{-}$. Cette égalité relie trois quantités ; dès que deux d'entre elles admettent une limite finie, la troisième en admet une aussi, comme somme ou différence de fonctions convergentes, et l'égalité passe à la limite. D'où la formule annoncée, où $\bigl[fg\bigr]_a^b$ désigne $\displaystyle\lim_{t \to b^{-}} f(t)g(t) - \lim_{t \to a^{+}} f(t)g(t)$.

La fonction $\varphi$ est continue et injective sur l'intervalle $J$ : elle y est donc strictement monotone. Traitons le cas où elle est strictement croissante ; le cas décroissant est analogue.

Alors $\varphi' \geqslant 0$ sur $J$, donc $\lvert \varphi'\rvert = \varphi'$. Notons $\alpha$ et $\beta$ les extrémités de $J$, de sorte que $\varphi(t) \to$ extrémité inférieure de $I$ quand $t \to \alpha^{+}$, et de même en $\beta$.

Soient $u < v$ dans $J$. Le théorème de changement de variable sur un segment (leçon 4), applicable puisque $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[u,v]$ et $f$ continue sur $\varphi([u,v]) \subset I$, donne

Faisons tendre $u \to \alpha^{+}$ et $v \to \beta^{-}$. Comme $\varphi$ est une bijection croissante de $J$ sur $I$, les bornes $\varphi(u)$ et $\varphi(v)$ parcourent $I$ et tendent vers ses extrémités. Le membre de gauche admet donc une limite finie si et seulement si $\displaystyle\int_I f$ converge, et le membre de droite si et seulement si $\displaystyle\int_J (f\circ\varphi)\,\lvert\varphi'\rvert$ converge. Les deux membres étant égaux à chaque étape, les deux intégrales sont de même nature et égales en cas de convergence.